background image

Let

f

:

A → B

and

g

:

B → C

are morphisms of

GreFunc

2

. Then

B

=

h

f

iA

and

C

=

h

g

iB

. So

h

g

f

iA

=

h

g

ih

f

iA

=

h

g

iB

=

C

. Thus

g

f

is a morphism of

GreFunc

2

. Associativity law is evident.

Id

S

up

A

is the identity morphism of

GreFunc

2

for every f.o.

A

.

Corollary 42.

6

1

and

6

2

are preorders.

Theorem 43. FuncBij

is a groupoid.

Proof.

First let’s prove it is a category. Let

f

:

A → B

and

g

:

B → C

are morphisms of

FuncBij

.

Then

f

:

S

up

A →

S

up

B

and

g

:

S

up

B →

S

up

C

are bijections and

B

=

h

f

iA

and

C

=

h

g

iB

.

Thus

g

f

:

S

up

A→

S

up

C

is a bijection and

C

=

h

g

f

iA

. Thus

g

f

is a morphism of

FuncBij

.

Id

S

up

A

is the identity morphism of

FuncBij

for every f.o.

A

. Thus it is a category.

It remains to prove only that every morphism

f

Mor

FuncBij

(

A

;

B

)

has a reverse (for every f.o.

A

,

B

). We have

f

is a bijection

S

up

A →

S

up

B

such that for every

C

P

S

up

A

h

f

i

C

up

B ⇔

C

up

A

.

Then

f

1

:

S

up

B →

S

up

A

is a bijection such that for every

C

P

S

up

A

f

1

C

up

A ⇔

C

up

B

.

Thus

f

1

Mor

FuncBij

(

B

;

A

)

.

Corollary 44.

Being directly isomorphic is an equivalence relation.

Obvious 45.

For the case of ultrafilters being directly isomorphic is the same as being Rudin-

Keisler equivalent.

Definition 46.

A f.o.

A

is

isomorphic

to a f.o.

B

iff there exist sets

A

up

A

and

B

up

B

such

that

A ÷

A

is directly isomorphic to

B ÷

B

.

Obvious 47.

Equivalent f.o. are isomorphic.

Theorem 48.

Being isomorphic (for filter objects) is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity.

Because every f.o. is directly isomorphic to itself.

Symmetry.

If f.o.

A

is isomorphic to

B

then there exist sets

A

up

A

and

B

up

B

such that

A ÷

A

is directly isomorphic to

B ÷

B

and thus

B ÷

B

is directly isomorphic to

A ÷

A

, So

B

is isomorphic to

A

.

Transitivity.

Let

A

is isomorphic to

B

and

B

is isomorphic to

C

. Then exist

A

up

A

,

B

1

up

B

,

B

2

up

B

,

C

up

C

such that there are bijections

f

:

A

B

1

and

g

B

2

C

such

that

X

P

A

:

X

up

B ⇔

f

1

X

up

A

and

X

P

B

2

: (

X

up

A ⇔ h

f

i

X

up

B

)

.

Also

X

P

B

2

: (

X

up

B ⇔ h

g

i

X

up

C

)

.

So

g

f

is a bijection from

f

1

(

B

1

B

2

)

up

A

to

h

g

i

(

B

1

B

2

)

up

C

such that

X

up

A ⇔ h

f

i

X

up

B ⇔ h

g

ih

f

i

X

up

C ⇔ h

g

f

i

X

up

C

.

Thus

g

f

establishes a bijection which proves that

A

is isomorphic to

C

.

Lemma 49.

Let card

X

=

card

Y

,

u

is an atomic f.o. on

X

and

v

is an atomic f.o. on

Y

; let

A

up

u

and

B

up

v

. Let

u

÷

A

and

v

÷

B

are directly isomorphic. Then if card

(

X

\

A

) =

card

(

Y

\

B

)

we

have

u

and

v

directly isomorphic.

Proof.

Arbitrary extend the bijection witnessing being directly isomorphic to the sets

X

\

A

and

Y

\

B

.

[TODO: A little more detailed proof.]

Ordering of filters

7