background image

Definition 26.

I will denote

GreFunc

1

the multigraph whose objects are filter objects and

whose morphisms between objects

A

and

B

are

Set

-morphisms from

S

up

A

to

S

up

B

such that

up

B ⊇

f

∗A

.

Definition 27.

I will denote

GreFunc

2

the multigraph whose objects are filter objects and

whose morphisms between objects

A

and

B

are

Set

-morphisms from

S

up

A

to

S

up

B

such that

up

B

=

f

∗A

.

Definition 28.

Let

A

is a f.o. on a set

X

and

B

is a f.o. on a set

Y

.

A

>

1

B

iff Mor

G reFunc

1

(

A

;

B

)

is not empty.

Definition 29.

Let

A

is an f.o. on a set

X

and

B

is an f.o. on a set

Y

.

A

>

2

B

iff Mor

G reFunc

2

(

A

;

B

)

is not empty.

Proposition 30.

1.

f

Mor

G reFunc

1

(

A

;

B

)

iff

f

is a

Set

-morphism from

S

up

A

to

S

up

B

such that

C

up

B ⇐

f

1

C

up

A

for every

C

P

S

up

B

.

2.

f

Mor

G reFunc

2

(

A

;

B

)

iff

f

is a

Set

-morphism from

S

up

A

to

S

up

B

such that

C

up

B ⇔

f

1

C

up

A

for every

C

P

S

up

B

.

Proof.

1.

f

Mor

G reFunc

1

(

A

;

B

)

up

B ⊇

f

∗A ⇔ ∀

C

f

∗A

:

C

up

B ⇔ ∀

C

P

S

up

B

:

f

1

C

up

A ⇒

C

up

B

.

2.

f

Mor

G reFunc

2

(

A

;

B

)

up

B

=

f

∗A ⇔ ∀

C

: (

C

up

B ⇔

C

f

∗A

)

⇔ ∀

C

P

S

up

B

:

(

C

up

B ⇔

C

f

∗A

)

⇔ ∀

C

P

S

up

B

:

C

up

B ⇔

f

1

C

up

A

.

Definition 31.

The multigraph

FuncBij

is the multigraph got from

GreFunc

2

by restricting to

only bijective morphisms.

Definition 32.

A f.o.

A

is directly isomorphic to a f.o.

B

iff there are a morphism

f

Mor

FuncBij

(

A

;

B

)

.

Proposition 33.

f

∗A

=

up

h

f

iA

for every

Set

-morphism

f

:

S

up

A →

S

up

B

.

Proof.

For every set

C

P

S

up

B

we have

C

f

∗A ⇔

f

1

C

up

A ⇒ ∃

K

up

A

:

f

1

C

=

K

⇒ ∃

K

up

A

:

h

f

i

f

1

C

=

h

f

i

K

⇒ ∃

K

up

A

:

C

⊇ h

f

i

K

⇔ ∃

K

up

A

:

C

up

h

f

i

K

C

up

T

F

hh

f

ii

up

A ⇔

C

up

h

f

iA

.

So

C

f

∗A ⇒

C

up

h

f

iA

.

Let now

C

up

h

f

iA

. Then

f

1

C

f

1

h

f

iA ⊇ A

and thus

f

1

C

up

A

.

Corollary 34.

f

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

⇔ B ⊆ h

f

iA

for every

Set

-morphism

f

from

S

up

A

to

S

up

B

.

Corollary 35.

f

Mor

G reFunc

2

(

A

;

B

)

⇔ B

=

h

f

iA

for every

Set

-morphism

f

from

S

up

A

to

S

up

B

.

Corollary 36.

A

>

2

B

iff exists a

Set

-morphism

f

:

S

up

A →

S

up

B

such that

B

=

h

f

iA

.

Corollary 37.

up

B ⊇

f

∗A ⇔ B ⊆ h

f

iA

.

Corollary 38.

A

>

1

B

iff exists a

Set

-morphism

f

:

S

up

A →

S

up

B

such that

B ⊆ h

f

iA

.

Ordering of filters

5