 Definition 18.

1. A trans-reloid is

monovalued

when it is a monovalued morhism of the category of trans-

reloids.

2. A trans-reloid is

injective

when it is an injective morhism of the category of trans-reloids.

Definition 19.

Let

f

is a trans-reloid and

A

is a f.o. on Src

f

. Then

f

|

A

R LD

=

f

I

A

R LD

(

Src

f

)

.

We can deﬁne also trans-funcoids in a similar way but we don’t need it in this work. Instead I

will deﬁne applying a

Set

-morhisms to ﬁlters:

Definition 20.

h

(

f

;

A

;

B

)

iX

=

T

F

(

B

)

hh

f

ii

up

(

X ÷

A

)

for every

Set

-morhism

(

f

;

A

;

B

)

and sets

A

and

B

.

2.2.2 Some theorems about trans-reloids

In this section I do not try to build a complete set of theorems about trans-reloids, just theorems
we’ll need below.

Theorem 21.

If

f

f

for some trans-reloids

f

and

f

then im

f

im

f

and dom

f

dom

f

.

Proof.

There exists a binary relation

K

up

f ,

up

f

such that

P

K

f

=

P

K

f

. Thus im

f

=

im

R LD

(

Src

f

;

Dst

f

)

(

P

K

f

) =

im

R LD

(

Src

f

;

Dst

f

)

(

P

K

f

)

im

(

Src

f

;

Dst

f

)

(

P

K

f

) =

im

f

.

Theorem 22.

For every trans-reloids

f

,

g

:

1. If im

f

dom

g

then im

(

g

f

) =

im

g

.

2. If im

f

dom

g

then dom

(

g

f

) =

dom

f

.

Proof.

Let

f

,

g

, and

h

=

g

f

are trans-reloids and im

f

dom

g

.

There exist reloids

f

,

g

on some set such that

h

g

f

and

f

f

,

g

g

.

Obviously im

f

dom

g

.

im

h

im

(

g

f

) =

im

g

im

g

(used the theorem 222?? in ).

3 Ordering of filters

Below I will deﬁne some categories having ﬁlter objects (with possibly diﬀerent bases) as their
objects and some relations having two ﬁlter objects (with possibly diﬀerent bases) as arguments
induced by these categories (deﬁned as existence of a morphism between these two f.o.).

Theorem 23.

card

a

=

card

U

for every ultraﬁlter

a

on

U

if

U

is inﬁnite.

Proof.

Let

f

(

X

) =

X

if

X

a

and

f

(

X

) =

U

\

X

if

X

a

. Obviously

f

is a surjection.

Every

X

a

appears as a value of

f

exactly twice, as

f

(

X

)

and

f

(

U

\

X

)

. So card

a

=

U

/2 =

U

.

Corollary 24.

Cardinality of every two ultraﬁlters on a set

U

is the same.

Proof.

For inﬁnite

U

it follows from the theorem. For ﬁnite case it is obvious.

Definition 25.

f

∗A

=

C

P

(

Dst

f

)

|

f

1

C

up

A

for every f.o.

A

and a

Set

-morphism

f

.

Below I’ll deﬁne some directed multigraphs. By an abuse of notation, I will denote these multi-

graphs the same as (below deﬁned) categories based on some of these these directed multigraphs
with added composition of morphisms (of directed multigraphs edges). As such I will call vertices
of these multigraphs objects and edges morphisms.

4

Section 3