 We have also

(

{

0

} ×

N

)

R LD

B

= (

{

0

} ×

N

)

RL D

S

R LD

{

n

} ×

R LD

u

2

n

|

n

Z

=

S

R LD

(

{

0

} ×

N

)

R LD

{

n

} ×

R LD

u

2

n

|

n

Z

=

{

0

} ×

R LD

u

0

(an atomic f.o.).

Thus every atomic f.o. generated as intersecting

A

with a set

X

is isomorphic to some

u

2

n

+1

and thus is not isomorphic to

u

0

. By the lemma it follows that

A

and

B

are non-isomorphic.

Theorem 80.

Let

f

is a monovalued injective trans-reloid. Then

f

is isomorphic to the f.o. dom

f

.

[TODO: Move this theorem and its corollary above.]

Proof.

Let

f

is a monovalued injective trans-reloid. There exists a bijection

F

up

f

. Consider

the bijective function

p

=

{

(

x

;

Fx

)

|

x

dom

F

}

.

h

p

i

dom

F

=

F

and consequently

h

p

i

dom

f

=

T

R LD

(

Dst

f

;

Src

f

)

{h

p

i

dom

K

|

K

up

f

}

=

T

R LD

(

Dst

f

;

Src

f

)

{h

p

i

dom

(

K

F

)

|

K

up

f

}

=

T

R LD

(

Dst

f

;

Src

f

)

{

K

F

|

K

up

f

}

=

T

R LD

(

Dst

f

;

Src

f

)

{

K

|

K

up

f

}

=

f

. Thus

p

witnesses that

f

is isomorphic to the f.o. dom

f

.

Corollary 81.

I

A

RL D

is isomorphic to

A

for every f.o.

A

.

Theorem 82.

There are atomic f.o. incomparable by Rudin-Keisler order.

Proof.

See .

Theorem 83.

>

1

and

>

2

are diﬀerent relations.

Proof.

Consider

a

is an arbitrary non-empty f.o. Then

a

>

1

but not

a

>

2

.

Proposition 84.

If

a

>

2

b

where

a

is an atomic f.o. then

b

is also an atomic f.o.

Proof.

b

=

h

f

i

a

for some

f

:

S

up

a

S

up

b

. So

b

is an atomic f.o. since

f

is monovalued.

Corollary 85.

If

a

>

1

b

where

a

is an atomic f.o. then

b

is also an atomic f.o. or

.

Proof.

b

⊆ h

f

i

a

for some

f

:

S

up

a

S

up

b

. Therefore

b

=

h

f

i

a

is an atomic f.o. From this

follows our statement.

Proposition 86.

Principal ﬁlters, generated by sets of the same cardinality, are isomorphic.

Proof.

Let

A

and

B

are sets of the same cardinality. Then there are a bijection

f

from

A

to

B

.

We have

h

f

i

A

=

B

and thus

A

and

B

are isomorphic.

Proposition 87.

If a ﬁlter object is isomorphic to a set, then it is also a set with the same

cardinality.

Proof.

Let

A

is a set and

B

is a f.o. isomorphic to

A

. Then there are sets

X

up

A

and

Y

up

B

such that there are a bijection

f

:

X

Y

such that

h

f

i

A

=

B

. Thus

A

is a set of the same cardinality

as

A

.

Proposition 88.

A ﬁlter isomorphic to a non-trivial atomic f.o. is a non-trivial atomic f.o.

Proof.

Let

a

is a non-trivial atomic f.o. and

a

is isomorphic to

b

. Then

a

>

2

b

and thus

b

is an

atomic f.o. The f.o.

b

cannot be trivial because otherwise

a

would be also trivial.

Theorem 89.

For an inﬁnite set

U

there exist

2

2

c a r d U

equivalence classes of isomorphic ultraﬁlters.

Proof.

The number of bijections between any two given subsets of

U

is no more than

(

card

U

)

card

U

= 2

card

U

. The number of bijections between all pairs of subsets of

U

is no more

than

2

card

U

·

2

card

U

= 2

card

U

. Therefore each isomorphism class contains at most

2

card

U

ultra-

ﬁlters. But there are

2

2

c a r d

U

ultraﬁlters. So there are

2

2

c a r d

U

classes.

Remark 90.

One of the above mentioned equivalence classes contains trivial ultraﬁlters.

14

Section 4