background image

4.

CoMonRld

,

;

5.

CoMonRld

,

=

;

6.

CoMonRld

=

,

=

.

Proof.

We will prove only the first three. The rest follow from duality. We need to prove only that

composition of morphisms is a morphism, because associativity and existence of identity morphism
is evident. Using the theorem 22 we have:

1. Let

f

Mor

M onR ld

,

(

A

;

B

)

,

g

Mor

M onR ld

,

(

B

;

C

)

. Then dom

f

⊆ A

, im

f

⊇ B

,

dom

g

⊆ B

, im

g

⊇ C

. So dom

(

g

f

)

⊆ A

, im

(

g

f

)

⊇ C

that is

g

f

Mor

M onR ld

,

(

A

;

C

)

.

2. Let

f

Mor

M onR ld

,

=

(

A

;

B

)

,

g

Mor

M onR ld

,

=

(

B

;

C

)

. Then dom

f

⊆ A

, im

f

=

B

,

dom

g

⊆ B

, im

g

=

C

. So dom

(

g

f

)

⊆ A

, im

(

g

f

) =

C

that is

g

f

Mor

M onR ld

,

=

(

A

;

C

)

.

3. Let

f

Mor

M onR ld

=

,

=

(

A

;

B

)

,

g

Mor

M onR ld

=

,

=

(

B

;

C

)

. Then dom

f

=

A

, im

f

=

B

,

dom

g

=

B

, im

g

=

C

. So dom

(

g

f

) =

A

,

im

(

g

f

) =

C

that is

g

f

Mor

M onR ld

=

,

=

(

A

;

C

)

.

Definition 59.

Let

BijRld

is the groupoid of all bijections of the category of reloids. Its objects

are filter objects and its morphisms from a f.o.

A

to f.o.

B

are monovalued injective trans-reloid

f

such that dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

Theorem 60.

Filter objects

A

and

B

are isomorphic iff Mor

BijR ld

(

A

;

B

)

.

Proof.

.

Let

A

and

B

are isomorphic. Then there are sets

A

up

A

,

B

up

B

and a bijective

function

F

:

A

B

such that

h

F

i

:

P

A

up

A →

P

B

up

B

is a bijection.

Obviously

f

=

F

|

A

R LD

(

A

;

B

)

is monovalued and injective.

im

f

=

T

F

n

im

G

|

G

F

|

A

RL D

(

A

;

B

)

o

=

T

F

n

im

(

H

F

|

X

)

|

H

F

|

A

R LD

(

A

;

B

)

, X

up

A

o

=

T

F

{

im

F

|

P

|

P

up

A}

=

T

F

{h

F

i

P

|

P

up

A}

=

T

F

{h

F

i

P

|

P

P

A

up

A}

=

T

F

(

P

B

up

B

) =

T

F

up

B

=

B

.

Thus dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

.

Let

f

is a monovalued injective trans-reloid such that dom

f

=

A

and im

f

=

B

. Then

exist a function

F

and an injective binary relation

F

′′

such that

F

, F

′′

up

f

. Thus

F

=

F

F

′′

is an injection such that

F

up

f

. The function

F

is a bijection from

A

=

dom

F

to

B

=

im

F

. The function

h

F

i

is an injection on

P

A

up

A

(and moreover on

P

A

).

Simple to show that

X

P

A

up

A

:

h

F

i

X

P

B

up

B

and similarly

Y

P

B

up

B

:

h

F

i

1

Y

=

F

1

Y

P

A

up

A

. Thus

h

F

i|

P

A

up

A

is a bijection

P

A

up

A→

P

B

up

B

.

So filter objects

A

and

B

are isomorphic.

Proposition 61.

(

>

1

) = (

)

(

>

2

)

(when we limit to small f.o.).

Proof.

A

>

1

B

iff exists a function

f

:

S

up

A →

S

up

B

such that

B

⊆ h

f

iA

. But

B ⊆ h

f

iA

is

equivalent to

∃B

F

: (

B ⊆ B

∧ B

=

h

f

iA

)

. So

A

>

1

B

is equivalent to existence of

B

F

such that

B ⊆ B

and existence of a function

f

:

S

up

A →

S

up

B

such that

B

=

h

f

iA

. That is equivalent

to

A

((

)

(

>

2

))

B

.

Proposition 62.

If

b

is an atomic f.o. and

A

then

b

>

1

A

b

>

2

A

.

[TODO: Generalize it for

f.o. on different base sets.]

Proof.

We need to prove only

b

>

1

A

b

>

2

A

. If

b

>

1

A

then there exists a monovalued reloid

f

such that dom

f

=

b

and im

f

A

. Then im

f

=

im

(

FCD

)

f

∈ {∅} ∪

atoms

F

because

(

FCD

)

f

is a

monovalued funcoid. So im

f

=

A

(taken in account

A

) and thus

b

>

2

A

.

Corollary 63.

For atomic filter objects

>

1

is the same as

>

2

.

Thus I will write simply

>

for atomic f.o.

10

Section 3