 Orderings of filters in terms of reloids

Extensions of Rudin-Keisler ordering

by Victor Porton

July 4, 2011

Abstract

Orderings of ﬁlters which extend Rudin-Keisler preorder of ultraﬁlters are described in terms
of reloids that (roughly speaking) is ﬁlters on sets of binary relations between some sets. Also
it is deﬁned isomorphism of ﬁlters which extends Rudin-Keisler equivalence of ultraﬁlters.

Keywords:

Rudin-Keisler order, Rudin-Keisler preorder, Rudin-Keisler ordering, ﬁlters,

ultraﬁlters, reloids, isomorphism, isomorphic

A.M.S. sub ject classification:

06F99, 06A99, 54D99

1 Draft status

It is a preliminary draft. Most probably there are little errors in the proofs.

I plan to integrate this article into bigger article .

2 Preliminary definitions

See  for the deﬁnition of ﬁlter objects and  for the deﬁnition and properties of reloids.

I will call

small

sets members of some Grothendieck universe.

Recall that morphisms of the category

Set

(or “

Set

-morphisms” for short) are triples

(

f

;

A

;

B

)

of a function

f

and small sets

A

and

B

where dom

f

A

and im

f

B

.

2.1 Equivalent filters

Earlier I’ve considered ﬁlters on some ﬁxed set

(

base set

). But in this section we’ll consider

relations between ﬁlters on diﬀerent base sets. It’s easy to see that the base of a f.o.

A

is

S

up

A

.

I will denote ﬁlters on set

A

as

F

(

A

)

and reloids on set

A

as

RLD

(

A

)

. In this section saying about

ﬁlter objects, I will mean ﬁlter objects on possibly diﬀerent sets.

We will restrict to small sets that is members of some Grothendieck universe.

Definition 1.

Two ﬁlter objects

A

and

B

(with possibly diﬀerent base sets) are

equivalent

(

A ∼ B

)

iﬀ there exists a set

X

such that

X

up

A

and

X

up

B

and

P

X

up

A

=

P

X

up

B

.

Proposition 2.

If two ﬁlter objects with the same base are equivalent they are equal.

Proof.

Let

A

and

B

are two f.o. and

P

X

up

A

=

P

X

up

B

for some set

X

and

S

up

A

=

S

up

B

. Then up

A

= (

P

X

up

A

)

∪ {

Y

P

S

up

A |

Y

X

}

= (

P

X

up

B

)

∪ {

Y

P

S

up

B |

Y

X

}

=

up

B

.

Proposition 3.

restricted to small ﬁlter objects is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity.

Obvious.

Symmetry.

Obvious.

. This document has been written using the GNU TEX

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text editor (see

www.texmacs.org

).

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