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Orderings of filters in terms of reloids

Extensions of Rudin-Keisler ordering

by Victor Porton

July 4, 2011

Abstract

Orderings of filters which extend Rudin-Keisler preorder of ultrafilters are described in terms
of reloids that (roughly speaking) is filters on sets of binary relations between some sets. Also
it is defined isomorphism of filters which extends Rudin-Keisler equivalence of ultrafilters.

Keywords:

Rudin-Keisler order, Rudin-Keisler preorder, Rudin-Keisler ordering, filters,

ultrafilters, reloids, isomorphism, isomorphic

A.M.S. sub ject classification:

06F99, 06A99, 54D99

1 Draft status

It is a preliminary draft. Most probably there are little errors in the proofs.

I plan to integrate this article into bigger article [4].

2 Preliminary definitions

See [3] for the definition of filter objects and [4] for the definition and properties of reloids.

I will call

small

sets members of some Grothendieck universe.

Recall that morphisms of the category

Set

(or “

Set

-morphisms” for short) are triples

(

f

;

A

;

B

)

of a function

f

and small sets

A

and

B

where dom

f

A

and im

f

B

.

2.1 Equivalent filters

Earlier I’ve considered filters on some fixed set

(

base set

). But in this section we’ll consider

relations between filters on different base sets. It’s easy to see that the base of a f.o.

A

is

S

up

A

.

I will denote filters on set

A

as

F

(

A

)

and reloids on set

A

as

RLD

(

A

)

. In this section saying about

filter objects, I will mean filter objects on possibly different sets.

We will restrict to small sets that is members of some Grothendieck universe.

Definition 1.

Two filter objects

A

and

B

(with possibly different base sets) are

equivalent

(

A ∼ B

)

iff there exists a set

X

such that

X

up

A

and

X

up

B

and

P

X

up

A

=

P

X

up

B

.

Proposition 2.

If two filter objects with the same base are equivalent they are equal.

Proof.

Let

A

and

B

are two f.o. and

P

X

up

A

=

P

X

up

B

for some set

X

and

S

up

A

=

S

up

B

. Then up

A

= (

P

X

up

A

)

∪ {

Y

P

S

up

A |

Y

X

}

= (

P

X

up

B

)

∪ {

Y

P

S

up

B |

Y

X

}

=

up

B

.

Proposition 3.

restricted to small filter objects is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity.

Obvious.

Symmetry.

Obvious.

. This document has been written using the GNU TEX

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www.texmacs.org

).

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