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Pseudodifference on atomistic co-brouwerian

lattices

Victor Porton

∗†

September 4, 2016

Abstract

I prove a conjecture about presenting pseudodifference of filters in

several equivalent forms from my earlier article, and more generally a
result for arbitrary atomistic co-brouwerian lattices.

A.M.S. subject classification:

54A20, 06A06, 06B99

Keywords:

filters, pseudodifference.

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The problem

I will call

the set of filter objects

the set of filters ordered reverse to set theoretic

inclusion of filters, with principal filters equated to the corresponding sets. See
[1] for the formal definition of filter objects.

I will denote (up

a

) the filter

corresponding to a filter object

a

. I will denote the set of filter objects (on

U

)

as

F

. So,

a

b

up

a

up

b

for

a, b

F

.

F

is actually a complete lattice (see [1]).

I will denote (atoms

A

a

) the set of atoms below element

a

of a lattice

A

.

In [1] I’ve formulated the following open problem (problem 1):

Problem 1

Which of the following expressions are pairwise equal for all

a, b

F

for

each lattice

F

of filters on a set

U

? (If some are not equal, provide counter-examples.)

1.

T

F

z

F

|

a

b

F

z

 

(quasidifference of

a

and

b

);

2.

S

F

z

F

|

z

a

z

F

b

=

 

(second quasidifference of

a

and

b

);

3.

S

F

(atoms

F

a

\

atoms

F

b

);

4.

S

F

a

F

(

U

\

B

)

|

B

up

b

 

.

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porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

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