background image

the morphism

π

considered as a morphism

B

Y

.

Proof.

Let

z

f

=

z

g

for some morphism

z

.

Let’s prove

u

π

=

z

for some

u

:

Y

Dst

z

. Really, as a morphism of

Set

it exists and is unique.

Src

z

Y

. Thus

z

=

u

π

for some

u

(by properties of

Set

). The function

u

is a

cont

(

C

)

-

morphism because of the lemma above. It is unique by properties of

Set

(

π

obviously respects

equivalence classes).

8 Rest

[TODO: Specify what is

C

.]

Theorem 48.

The categories

cont

(

C

)

(for example in

Fcd

and

Rld

) are complete.

Proof.

They have products [1] and equalizers.

Theorem 49.

The categories

cont

(

C

)

(for example in

Fcd

and

Rld

) are co-complete.

Proof.

They have co-products [1] and co-equalizers.

Definition 50.

I call morphisms

f

and

g

of a category with embeddings

equivalent

(

f

g

) when

there exist a morphism

p

such that Src

p

Src

f

, Src

p

Src

g

, Dst

p

Dst

f

, Dst

p

Dst

g

and

ι

Src

f ,

Dst

f

p

=

f

and

ι

Src

g,

Dst

g

p

=

g

.

Problem 51.

Find under which conditions:

1. Equivalence of morphisms is an equivalence relation.

2. Equivalence of morphisms is a congruence for our category.

Bibliography

[1]

Victor Porton. Products in dagger categories with complete ordered mor-sets. At

http://www.mathe-

matics21.org/binaries/product.pdf

.

[2]

Victor Porton.

Algebraic General Topology. Volume 1

. 2013.

6

Section