 Obvious 10.

A

A

= 1

Rel

A

.

Obvious 11.

(

A

B

)

1

=

B

A

.

Definition 12.

Dagger functor

between two dagger categories is a functor between these cate-

gories, which commutes with the daggers.

[TODO: Clearer wording.]

Definition 13.

Category under

Rel

is a pair

(

C

;

)

where

C

is a category whose objects are small

sets and

is an identity-on-objects functor

Rel

C

. I call

up-arrow functor

.

[TODO:

A

B

A

B

for sets.]

Definition 14.

Dagger category under

Rel

is a pair

(

C

;

)

where

C

is a dagger category whose

objects are small sets and

is a dagger identity-on-objects functor

Rel

C

.

Definition 15.

A

C

B

=

(

A

B

)

. In other words,

C

=

↑ ◦

.

Proposition 16.

A

C

A

= 1

C

A

.

Proof.

A

C

A

=

(

A

A

) =

1

Rel

= 1

C

A

.

Proposition 17.

If

f

:

X

Y

is a

Rel

-morphism and im

f

=

A

Y

then

(

A

Y

)

(

Y

A

)

f

=

f .

Proof.

(

A

Y

)

(

Y

A

)

f

=

id

A

f

=

f

.

Corollary 18.

If

f

:

X

Y

is a morphism of a category under

Rel

and im

f

=

A

Y

, then

(

A

C

Y

)

(

Y

C

A

)

◦ ↑

f

=

f .

Proposition 19.

1. If

A

B

then

A

C

B

is a monomorphism.

2. If

A

B

then

A

C

B

is a epimorphism.

Proof.

We’ll prove only the first as the second is dual.

Let

(

A

C

B

)

f

= (

A

C

B

)

g

. Then

(

B

C

A

)

(

A

C

B

)

f

= (

B

C

A

)

(

A

C

B

)

g

;

1

A

f

= 1

A

g

;

f

=

g

.

Proposition 20.

(

B

C

)

(

A

B

) =

A

C

iff

B

A

C

(for every sets

A

,

B

,

C

).

Proof.

(

B

C

)

(

A

B

) =

A

C

is equivalent to:

(

B

;

C

;

id

B

C

)

(

A

;

B

;

id

A

B

) = (

A

;

C

;

id

A

C

)

;

(

A

;

C

;

id

A

B

C

) = (

A

;

C

;

id

A

C

)

;

A

B

C

=

A

C

;

B

A

C

.

Corollary 21.

(

B

C

C

)

(

A

C

B

) = (

A

C

C

)

if

B

A

C

(for every sets

A

,

B

,

C

).

Definition 22.

Partially ordered dagger category under

Rel

is a category which is both a partially

ordered dagger category and a category under

Rel

such that

↑ ◦

f

1

= (

↑ ◦

f

)

and

A

B

A

⊑ ↑

B

.

Proposition 23.

(

A

C

B

)

=

B

C

A

for a dagger category under

Rel

.

Proof.

(

A

C

B

)

= (

(

A

B

))

=

(

A

B

)

1

=

(

B

A

) =

B

C

A

.

Proposition 24.

For a partially ordered dagger category

C

under

Rel

we have

A

C

B

is:

1. monovalued;

2

Section 3