background image

Equalizers and co-Equalizers in Certain Categories

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

February 9, 2014

1 Draft status

It is a rough draft. Errors are possible. Subscribe to my blog for further results.

http://math.stackexchange.com/questions/540220/right-adjoint-of-forgetful-functor-from-top

[TODO: Change notation

Q

Q

(

L

)

.]

2 Categories with embeddings

Note 1.

This section in not used below, it is just to feed your intuition.

The following generalizes the well known concept of embedding function

A

B

for from a set

A

to a set

B

where

A

B

.

I will set that the unique morphism from an object

A

to an object

B

of a thin category is equal

to the pair

(

A

;

B

)

.

Definition 2.

A

category with embeddings of objects

is a dagger category with a preorder of the

set of objects together with a functor

(we will denote applying this functor to the object

(

A

;

B

)

as

A

B

.) such that:

is an identity on objects.

Every

A

B

is a monomorphism.

(

A

B

)

(

A

B

) = 1

A

.

Obvious 3.

A

B

is defined when

(

A

;

B

)

is a morphism of the preorder that is when

A

B

.

Obvious 4.

A

B

:

A

B

when

A

B

.

Proposition 5.

A

A

= 1

A

.

Proof.

Because

(

A

;

A

)

is an identity morphism and

preserves identities.

Proposition 6.

(

B

C

)

(

A

B

) =

A

C

whenever

A

B

C

.

Proof.

(

B

C

)

(

A

B

) =

(

B

;

C

)

(

A

;

B

) =

((

B

;

C

)

(

A

;

B

)) =

(

A

;

C

) =

A

C

.

3 Categories under Rel

Definition 7.

The

Rel

-morphism

A

B

(

restriction-embedding

) is defined by the formula:

A

B

= (

A

;

B

;

id

A

B

)

.

Obvious 8.

If

A

B

then

A

B

is an embedding

A

B

= (

A

;

B

;

id

A

)

.

Obvious 9.

If

A

B

then

A

B

= (

A

;

B

;

id

B

)

.

1