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Corollary 4.

The following are equivelent:

[TODO: With one side implications and requirement

to be upper/lower set.]

1.

F

is a mixer.

2.

8

Z

2

A

: (

Z

v

A

^

Z

v

B

)

Z

2

F

)

,

A

2

F

_

B

2

F

for every

A; B

2

A

and

F

does not contain

the least element of

A

.

1 General isomorphisms

Let

be an self-inverse order reversing isomorphism of some set

P

of posets.

We have the following commutative diagram in category Set, every arrow of this diagram is an
isomorphism, every cycle in this diagram is an identity:

h

dual

i

ideals

:

h

dual

i

free stars

mixers

:

F

(

P

)

Figure 2.

Diagram

2 Boolean lattices

In the case if

Z

is a boolean lattice, there is also an alternative commutative diagram in category

Set, every arrow of this diagram is an isomorphism, every loop in this diagram is an identity:

h:i

ideals

:

h:i

free stars

mixers

:

lters

Figure 3.

Diagram

 

(here

h:i

X

=

def

f

x

j

x

2

X

g

).

[TODO: Other denition where upper/lower set is explicitly said.]
[TODO: Combine two rectangular diagrams into one cubic.]

Above we have two diagrams

D

with ??(every isomorphism). I will denote

A

!

D

B

the unique

bijection from

A

to

B

which is a composition of arrows of this diagram.

[TODO: Dene isomorphism of ltrators.]

Dene principal ideals, free stars, mixers as objects isomorphic to principal lters.

[FIXME: There

are two diagrams which provide dierent isomorphisms!]

These isomorphisms

f

have in common

that

fa

v

fb

,

a

w

b

. We can

dene

the isomorphism

h

dual

i

as a function such that

fa

v

fb

,

a

w

b

.

It is called

order reversing isomorphism

. So rst consider the general case of subsets of lters,

ideals, ... with an arbitrary antitone isomorphism. Need it to be an involution?

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