background image

Dual lters and ideals

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

WARNING: There are errors in this draft. See instead my book.

[TODO: Dene commutatitve diagrams.]

For a lattice

Z

I denote meets and joins correspondingly as

u

and

t

.

In my earlier work I denoted lters on a poset

Z

as

F

(

Z

)

(or just

F

) and corresponding principal

lters as

P

(

Z

)

(or just

P

).

I will denote

X

=

A

n

X

for a set

X

A

.

Filters and ideals are well known concepts:

Filters

F

are subsets

F

of

A

such that:

1.

F

does not contain the least element of

A

(if it exists).

2.

A

u

B

2

F

,

A

2

F

^

B

2

F

(for every

A; B

2

Z

).

Ideals

I

are subsets

F

of

A

such that:

1.

F

does not contain the greatest element of

A

(if it exists).

2.

A

t

B

2

F

,

A

2

F

^

B

2

F

(for every

A; B

2

Z

).

Free stars

S

are subsets

F

of

A

such that:

1.

F

does not contain the least element of

A

(if it exists).

2.

A

t

B

2

F

,

A

2

F

_

B

2

F

(for every

A; B

2

Z

).

Mixers

M

are subsets

F

of

A

such that:

1.

F

does not contain the greatest element of

A

(if it exists).

2.

A

u

B

2

F

,

A

2

F

_

B

2

F

(for every

A; B

2

Z

).

Proposition 1.

A set

F

is a lower set i

F

is an upper set.

Proof.

X

2

F

^

Z

w

X

)

Z

2

F

is equivalent to

Z

2

F

)

X

2

F

_

Z

w

X

is equivalent

Z

2

F

)

(

Z

w

X

)

X

2

F

)

is equivalent

Z

2

F

^

X

v

Z

)

X

2

F

.

I will denote dual

A

where

A

2

Z

the corresponding element of the dual poset

Z

. Also I denote

h

dual

i

X

=

def

f

dual

x

j

x

2

X

g

:

Then we have the following bijections between above described four sets:

A

t

B

2

F

,

A

2

F

_

B

2

F

is equivalent to

:

(

A

t

B

2

F

)

, :

(

A

2

F

^

B

2

F

)

is equivalent to

A

t

B

2

F

,

A

2

F

^

B

2

F

;

1