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Proof

X

×

C

Y

S

(

µ

((

X

Y

)

×

C

(

X

Y

)))

x

X, y

Y

:

x S

(

µ

((

X

Y

)

×

C

(

X

Y

)))

y

x

X, y

Y

:

τ

(

x, y, X

Y

)

X T

(

U

;

τ

)

Y.

X

×

C

Y

S

(

µ

((

X

Y

)

×

C

(

X

Y

)))

X

×

C

Y

=

S

(

µ

((

X

Y

)

×

C

(

X

Y

)))

because

S

(

µ

((

X

Y

)

×

C

(

X

Y

)))

(

X

Y

)

×

C

(

X

Y

).

Theorem 5

Q

(

U

;

τ

)

and

[

µ

]

have the same normalization (for every digraph

µ

= (

U

;

f

)

).

Proof

Let

X, Y

P

U

,

X, Y

6

=

,

X

Y

=

. We need to prove

X Q

(

U

;

τ

)

Y

X

[

µ

]

Y

.

X Q

(

U

;

τ

)

Y

X

[

µ

]

Y

is obvious.

Let

X Q

(

U

;

τ

)

Y

. Then there exists a path in

X

Y

from a point of

X

to

a point of

Y

. Easy to see that there exist consequtive points

x

,

y

of this path

such that

x µ y

. So

X

[

µ

]

Y

.

Theorem 6

Regarding every digraph

(

U

;

µ

)

, connectedness is the same for con-

nector spaces:

1.

T

(

U

;

τ

)

;

2.

Q

(

U

;

τ

)

;

3.

(

U

; [

µ

])

.

Proof

From the theorems and 3.

4.5. Weak connectedness

By definition a set

A

is weakly connected regarding a digraph

µ

iff it is

connected regarding the corresponding graph (that is connected regarding the
digraph

µ

µ

1

). So weak connectedness is also a kind of generalized connect-

edness.

4.6. Uniform connectedness
4.6.1. Some basic properties of filters

Let

F

is the set of filters on some set

U

.

I will denote [

A

) the principal filter corresponding to a set

A

.

Note that I do not require that filters do not contain the empty set, thus [

)

is well defined.

Proposition 5

a

F

b

=

{

A

B

|

A

a, B

b

}

for every filters

a

and

b

.

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