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Remark 2

We may introduce other variants of path-connectedness replacing

topology

A

with a proximity or uniformity and continuity with proximal conti-

nuity or uniform continuity.

Proposition 2

The link space is an increasing equivalence for every

A

be it a

topology, proximity, or uniformity.

Proof

Easy to prove in every of the three cases.

4.3. Proximal connectedness

The notion of proximal connectedness (also called “equiconnectedness”) is

defined e.g. in [1], [2], and [3].

To get proximal connectedness we simply take the connector

r

=

δ

for a

proximity

δ

.

Remark 3

Connectedness regarding a proximity can be trivially generalized

to connectedness regarding a funcoid [5], but I omit this because the theory of
funcoids is not yet officially published.

Proposition 3

A set

A

is proximally connected iff

X, Y

P

A

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X δ Y

)

.

Proof

Because

δ

is a normalized connector.

4.4. Connectedness regarding a digraph

The category of binary relations is the category whose objects are sets and

whose morphisms from a set

A

to a set

B

are triples (

f

;

A

;

B

) where

f

is a

binary relation and dom

f

A

and im

f

b

. Composition of morphisms is

defined in the natural way.

We will order this category by product order, that is

(

f

;

A

0

;

B

0

)

(

g

;

A

1

;

B

1

)

f

g

A

0

A

1

B

0

B

1

.

For two morphisms (

f

;

A

0

;

B

0

) and (

g

;

A

1

;

B

1

) we have the meet of morphisms

by the formula

(

f

;

A

0

;

B

0

)

(

g

;

A

1

;

B

1

) = (

f

g

;

A

0

A

1

;

B

0

B

1

)

.

Easy to see that the right part of this formula is a morphism.

We will define

A

×

C

B

= (

A

×

B

;

A

;

B

).

I will define a

digraph

as an endomorphism of the category of binary rela-

tions. In other words, a digraph is (

U

;

f

) where

U

is a set and

f

is a binary

relation on

U

.

By definition

a

(

f

;

A

;

B

)

b

a f b

(

a

;

b

)

f

.

By definition

h

(

f

;

A

;

B

)

i

X

=

h

f

i

X

and [(

f

;

A

;

B

)] = [

f

].

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