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To get path connectedness we take (for some topology

A

)

τ

A

(

x, y

)

⇔ ∃

f

C([0; 1];

A

|

A

) : (

f

(0) =

x

f

(1) =

y

)

.

(3)

Definition 11

We can define two connector spaces

T

(

U

;

τ

)

and

Q

(

U

;

τ

)

with

the base

U

corresponding to a link space

(

U

;

τ

)

by the formulas:

X, Y

P

U

: (

X T

(

U

;

τ

)

Y

⇔ ∀

x

X, y

Y

:

τ

(

x, y, X

Y

))

;

X, Y

P

U

: (

X Q

(

U

;

τ

)

Y

⇔ ∃

x

X, y

Y

:

τ

(

x, y, X

Y

))

.

Obvious 4

If

τ

is reflexive then

Q

(

U

;

τ

)

is a normalized connector.

Obvious 5

1.

(

T

(

U

;

τ

))

|

K

=

T

((

U

;

τ

)

|

K

)

;

2.

(

Q

(

U

;

τ

))

|

K

=

Q

((

U

;

τ

)

|

K

)

.

Proposition 1

LC(

U

;

τ

) = CC(

T

(

U

;

τ

))

for every reflexive link space

(

U

;

τ

)

.

Proof

Let

A

is connected regarding

T

(

U

;

τ

). Then

X, Y

P

A

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X

Y

=

∅ ⇒

X T

(

U

;

τ

)

Y

)

that is

X, Y

P

A

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X

Y

=

∅ ⇒ ∀

x

X, y

Y

:

τ

(

x, y, X

Y

))

.

Let

a, b

A

and

a

6

=

b

. Then exist

X, Y

P

A

\ {∅}

such that

X

Y

=

A

X

Y

=

and

a

X

,

b

Y

. So

τ

(

a, b, X

Y

) that is

τ

(

a, b, A

). So taking

in account reflexivity of

τ

we get that

A

is connected regarding

τ

.

Let now

A

is connected regarding (

U

;

τ

). Let

X, Y

P

A

\ {∅} ∧

X

Y

=

A

X

Y

=

. We have

τ

(

a, b, A

) for every

a

X

,

b

Y

. Thus

X T

(

U

;

τ

)

Y

.

So

A

is connected regarding

T

(

U

;

τ

).

Theorem 2

For every equivalence link space

(

U

;

τ

)

LC(

U

;

τ

) = CC(

T

(

U

;

τ

)) = CC(

Q

(

U

;

τ

))

.

Proof

Enough to prove LC(

U

;

τ

) = CC(

Q

(

U

;

τ

)).

Let

A

is not connected regarding (

U

;

τ

) that is there are

a, b

A

such that

¬

(

a τ

A

b

). Then

a

K

and

b

A

\

K

where

K

is a equivalence class regarding

τ

A

. So

¬

(

K Q

(

U

;

τ

)

A

\

K

) and thus

A

is not connected regarding

Q

(

U

;

τ

).

Let

A

is connected regarding (

U

;

τ

). Then for every

X, Y

P

A

\{∅}

we have

x

X, y

Y

:

x τ

A

y

and thus

x

X, y

Y

:

x τ

A

y

that is

X Q

(

U

;

τ

)

Y

.

So

A

is connected regarding

Q

(

U

;

τ

).

5