 4. Examples of connectedness

4.1. Topological connectedness

Let

A

is a topological space. If we take

X r Y

(X is not open or Y is not open)

or

X r Y

(X is not closed or Y is not closed)

or

X r Y

cl

X

Y

(

X

)

Y

6

=

∅ ∨

cl

X

Y

(

Y

)

X

6

=

(2)

where openness and closedness is taken on the space

A

restricted to the set

X

Y

and cl

A

means the closure on the subspace

A

, then we get the classical

definition of a set connected regarding a topology.

Observe that there are several connectors which define the same connected-

ness (because their normalized connectors are identical).

4.2. Path connectedness and similar

Definition 6

I will call a ternary relation

τ

P

(

U

×

U

×

P

U

)

.

I will call the pair

(

U

;

τ

)

a

.

I will denote

a τ

A

b

=

τ

A

(

a, b

) =

τ

(

a, b, A

).

Remark 1

The expression

τ

(

a, b, A

) generalizes the statement “There exists a

path from

a

to

b

through

A

.” (where path may be taken in the sense used in

topology or the sense used in graph theory).

Definition 7

I will call a link space

(

U

;

τ

)

increasing

iff

A, B

P

U

: (

A

B

τ

A

τ

B

)

.

Definition 8

I will call the

restriction

of a link space

(

U

;

τ

)

to a set

A

P

U

(

A

;

τ

(

A

×

A

×

P

A

))

.

Definition 9

I call a link space

(

U

;

τ

)

symmetric

when

τ

A

is symmetric for

every

A

P

U

,

transitive

when

τ

A

is transitive for every

A

P

U

,

reflexive

when

τ

A

is reflexive on

A

for every

A

P

U

. I will call a link space

equivalence

when it is symmetric, transitive, and reflexive.

Definition 10

I will call a set

A

connected regarding a link

τ

when

x, y

A

:

τ

(

x, y, A

)

. I call

connectedness

regarding a link space

(

U

;

τ

)

the collection

of all connected (regarding

τ

) sets on

U

. I will denote

LC(

U

;

τ

)

the connected-

ness regarding

(

U

;

τ

)

. (“LC” is deciphered as “link connectedness”.)

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