background image

Definition 3

Normalized

connector space is such a connector space

(

U

;

r

)

that

X, Y

P

U

: (

X

=

∅∨

Y

=

∅ ⇒ ¬

(

X r Y

))

and

X, Y

P

U

: (

X

Y

6

=

∅ ⇒

X r Y

)

.

Definition 4

Normalization

of a connector space

(

U

;

r

)

is the connector

N

(

U

;

r

) = (

U

;

r

)

defined by the formula (for every

X, Y

P

U

)

X r

Y

0

if

X

=

∅ ∨

Y

=

,

1

if

X

Y

6

=

,

X r Y

otherwise

.

Obvious 1

Normalization of a connector space is a normalized connector space.

Obvious 2

A set is connected regarding a connector space iff it is connected

regarding its normalization.

Obvious 3

For a normalized connector

r

a set

A

is connected iff

X, Y

P

A

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X r Y

)

.

Definition 5

Restriction

r

|

A

of a connector

r

to a set

A

is the connector

r

(

P

A

×

P

A

)

.

Restriction

(

U

;

r

)

|

A

of a connector space

(

U

;

r

)

to a set

A

P

U

is the

connector space

(

A

;

r

(

P

A

×

P

A

))

.

Theorem 1

CC((

U

;

r

)

|

K

) = CC(

U

;

r

)

P

K

for every set

K

P

U

.

Proof

A

CC((

U

;

r

)

|

K

)

A

K

∧∀

X, Y

P

A

\{∅}

: (

X

Y

=

A

X

Y

=

∅ ⇒

X

(

r

(

P

K

×

P

K

))

Y

)

A

K

∧ ∀

X, Y

P

A

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X

Y

=

∅ ⇒

X r Y

)

A

K

A

CC(

U

;

r

)

A

CC(

U

;

r

)

P

K

for

every set

A

.

Corollary 1

CC((

U

;

r

)

|

K

)

CC(

U

;

r

)

.

I will define an order on every set of connectors with the same base by the

formula

(

U

;

r

0

)

(

U

;

r

1

)

r

0

r

1

.

3