background image

5 Properties

13

5.1

Extendability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.2

Criteria of connectedness

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.2.1

Connectedness of unions of sets . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.3

Links generated by a connector . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5.4

Relationships of

Q

(

U

;

τ

) and

T

(

U

;

τ

. . . . . . . . . . . . . . . .

19

6 Future research

20

1. Related works

In [4] is researched an other way to generalize connectedness. Below is

remarked how these two ways are connected.

2. Notation

I will denote

h

f

i

X

=

{

f

(

x

)

|

x

X

}

for every function

f

and set

X

.

X

[

f

]

Y

⇔ ∃

x

X, y

Y

:

x f y

(

X

×

Y

)

f

6

=

for every binary

relation

f

and sets

X

and

Y

.

3. Main definition

Let

U

is a set.

Definition 1

I will call a

connector

a binary relation

r

P

(

P

U

×

P

U

)

for

some set

U

. The

connector space

is the pair

(

U

;

r

)

. I will call

U

the

base

of

the connector space

(

U

;

r

)

.

I will denote

A

(

U

;

r

)

B

A r B

for every sets

A

and

B

.

Definition 2

Let

r

is a connector. I call a set

A

connected

(regarding

r

) when

X, Y

P

A

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X

Y

=

∅ ⇒

X r Y

)

.

(1)

I will call

connectedness

the set of connected sets (regarding some connector

r

). I will denote

CC(

U

;

r

) =

{

A

P

U

|

A

is connected regarding

r

}

the connectedness regarding the connector space

(

U

;

r

)

. (“CC” is deciphered as

“connector connectedness”.)

A set is connected regarding a connector space

(

U

;

r

)

iff it is connected re-

garding the connector

r

.

Intuitively: A set is connected if for every partition of it into two components

these two components are bound with each other (“to be bound” mean to be
related by the relation

r

).

I will call the above formula

generalized connectedness

.

2