background image

Reflexivity

Follows from reflexivity of

(

U

;

r

)

.

Symmetry

Obvious.

Transitivity

Let

a

(

U

;

r

)

b

and

b

(

U

;

r

)

c

. Then

a

(

U

;

r

)

b

and

b

(

U

;

r

)

c

.

So by transitivity of

(

U

;

r

)

we have

a

(

U

;

r

)

c

. Similarly

c

(

U

;

r

)

a

. So

a

(

U

;

r

)

c

.

Theorem 14

The following statements are equivalent for every connector space

(

U

;

r

)

and set

K

P

U

:

1. The set

K

is connected regarding

(

U

;

r

)

.

2.

x, y

K

:

x

(

U

;

r

)

|

K

y

.

3.

x, y

K

:

x

(

U

;

r

)

|

K

y

.

4.

x, y

K

:

x

(

U

;

r

)

|

K

y

.

Proof

(1)

(3)

Let

K

is connected. Then we have

X r Y

and

Y r X

for every

X, Y

P

K

\ {∅}

such that

X

Y

=

K

X

Y

=

and consequently

a

(

U

;

r

)

|

K

b

for every

a, b

K

.

(3)

(2)

Obvious.

(3)

(1)

Let

x, y

K

:

x

(

U

;

r

)

|

K

y

. Then if

X, Y

P

K

\ {∅} ∧

X

Y

=

K

X

Y

=

, we have some

x

X

and

y

Y

thus

X r Y

because

x

(

U

;

r

)

y

. So

K

is connected.

(4)

(1)

If

x, y

K

:

x

(

U

;

r

)

|

K

y

then

K

is a subset of a connected com-

ponent regarding (

U

;

r

)

|

K

. This component cannot be greater than

K

, so

K

is connected regarding (

U

;

r

)

|

K

and consequently connected regarding

(

U

;

r

).

(1)

(4)

If

K

is connected regarding (

U

;

r

) then

K

is connected regarding

(

U

;

r

)

|

K

and thus

K

is a connected component regarding (

U

;

r

)

|

K

so hav-

ing

x, y

K

:

x

(

U

;

r

)

|

K

y

.

Theorem 15

ζ

Q

(

U

;

τ

)

(

) =

ζ

T

(

U

;

τ

)

(

) =

ζ

Q

(

U

;

τ

)

(

) =

ζ

Q

(

U

;

τ

)

(

) =

τ

for

every equivalence link space

(

U

;

τ

)

.

18