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Proof

If

A

is connected regarding (

U

;

r

) then

A

is connected regarding (

U

;

r

)

|

A

and thus is a connected component regarding (

U

;

r

)

|

A

.

If

A

is a connected component regarding (

U

;

r

)

|

A

then

A

is connected re-

garding (

U

;

r

)

|

A

and thus is connected regarding (

U

;

r

).

Theorem 10

Equivalence classes regarding

(

U

;

r

)

are exactly connected com-

ponents for every extendable connector space

(

U

;

r

)

.

Proof

Let

K

is a connected component. Then

K

is connected and thus

a

(

U

;

r

)

b

for every

a, b

K

. If

a

6≡

(

U

;

r

)

b

then there are no connected set

X

such that

a, b

X

and thus

a /

K

b /

K

. Thus

K

is an equivalence class of

(

U

;

r

)

.

Let now

K

is an equivalence class of

(

U

;

r

)

. Let choose arbitrary

k

K

. For

every

x

K

exists a connected set

X

x

such that

k, x

X

. Having a common

point

k

the union

A

of all

X

x

is a connected set. It’s impossible

A

K

because

otherwise

y

(

U

;

r

)

k

for some

y

6∈

K

. So

A

=

K

is the maximal connected set.

Corollary 5

For every extendable connector space

(

U

;

r

)

its connectedness is

equal to connectedness regarding the link

ζ

(

U

;

r

)

(

)

.

Proof

A

CC(

U

;

r

)

A

CC((

U

;

r

)

|

A

) what is equivalent to

A

being a

connected component regarding (

U

;

r

)

|

A

what is equivalent to

A

being an equiv-

alence class regarding

(

U

;

r

)

|

A

that is regarding

ζ

(

U

;

r

)

(

)

A

that is equivalent to

A

being connected regarding

ζ

(

U

;

r

)

(

).

Corollary 6

The set

U

is partitioned into connected components for every ex-

tendable connector space

(

U

;

r

)

.

Corollary 7

If a set is connected then it is a subset of a connected component

(for extendable connector spaces).

Theorem 11

For every extendable connector space exists a link space with the

same connectedness.

Proof

Let (

U

;

r

) is an extendable connector space. Let

A

P

U

. Then

A

is connected regarding (

U

;

r

) iff there are one connected component of the

connector space (

U

;

r

)

|

A

. Thus

A

is connected regarding (

U

;

r

) iff

A

is connected

regarding

τ

where

τ

A

is the equivalence relation defined by the partition of the

set

A

into connected components by the connector space (

U

;

r

)

|

A

. (Taken in

account that connected components of an extendable connector space are a
partition.)

Theorem 12

Let

(

U

;

τ

)

is an increasing equivalence link space. Then

L

(LC(

U

;

τ

)) =

τ

.

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