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Corollary 4

Connectedness generated by an extendable connector space is a

c

-structure in the sense of [4].

Remark 5

Connectedness generated by an extendable connector space is not

necessarily a connective structure in the sense of [4]. A counter-example is
proximal connectedness on the set

R

\ {

0

}

. (Take

A

= (

−∞

; 0),

B

= (0; +

)

to violate the axiom (iii) in the main definition of [4].)

5.3. Links generated by a connector

Definition 18

a ρ

(

E

)

b

⇔ ∃

K

E

:

a, b

K

for every collection

E

of sets.

Definition 19

L

(

E

)

A

=

ρ

(

P

A

E

)

for every collection

E

of sets and a set

A

.

Let (

U

;

r

) is a connector space.

Definition 20

ζ

(

U

;

r

)

(

)

is the link space defined by the formula

ζ

(

U

;

r

)

(

)

A

=

(

U

;

(

U

;

r

)

|

A

)

.

Definition 21

Let

(

(

U

;

r

)

) =

ρ

(CC(

U

;

r

))

.

Proposition 12

ζ

(

U

;

r

)

(

)

K

= (

(

U

;

r

)

|

K

) =

L

(CC(

U

;

r

))

K

=

ρ

(CC((

U

;

r

)

|

K

))

for every connector space

(

U

;

r

)

and set

K

P

U

.

Proof

(

(

U

;

r

)

|

K

) =

ρ

(CC((

U

;

r

)

|

K

)) =

ρ

(CC(

U

;

r

)

P

K

) =

L

(CC(

U

;

r

))

K

.

ζ

(

U

;

r

)

(

)

K

= (

(

U

;

r

)

|

K

) by definition.

Obvious 14

ζ

(

U

;

r

)

(

)

is an increasing link space.

Obvious 15

(

(

U

;

r

)

)

is symmetric for every connector space

(

U

;

r

)

.

Proposition 13

(

(

U

;

r

)

)

is reflexive on

U

for every connector space

(

U

;

r

)

.

Proof

Follows from the fact that singletons are connected.

Theorem 9

(

(

U

;

r

)

)

is an equivalence relation on

U

for every extendable con-

nector space

(

U

;

r

)

.

Proof

We need to prove only transitivity. Let

a

(

U

;

r

)

b

and

b

(

U

;

r

)

c

. Then

exist

X, Y

CC(

U

;

r

) such that

a, b

X

and

b, c

Y

. Because

X

Y

6

=

we

have

X

Y

CC(

U

;

r

). So

a

(

U

;

r

)

c

.

Definition 22

A

connected component

(regarding a connectedness space

(

U

;

r

)

)

is a non-empty maximal connected set.

Proposition 14

A set

A

P

U

is connected regarding a connector space

(

U

;

r

)

iff there are exactly one connected component of the connector space

(

U

;

r

)

|

A

.

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