background image

5.2.1. Connectedness of unions of sets

Lemma 3

If

X

Y

=

A

B

and

X, Y

6

=

and

X

Y

=

then either

{

X, Y

}

=

{

A, B

}

or

A

intersects both

X

and

Y

or

B

intersects both

X

and

Y

(for every sets

A

,

B

,

X

,

Y

).

Proof

Let

{

X, Y

} 6

=

{

A, B

}

. Suppose that “

A

intersects both

X

and

Y

” does

not hold (for example suppose that

A

X

= 0) and prove “

B

intersects both

X

and

Y

”.

We have

X

B

and thus

B

X

6

= 0. If also

B

Y

= 0 then

B

X

. So

X

=

B

and thus either

Y

=

A

what contradicts to our supposition or

A

Y

in

which case

A

intersects both

X

and

Y

.

Theorem 7

If sets

A, B

P

U

are connected regarding an extendable connec-

tor space

(

U

;

r

)

and

A r B

then

A

B

is also connected regarding

(

U

;

r

)

.

Proof

We need to prove that

X, Y

P

(

A

B

)

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

B

X

Y

=

∅ ⇒

X r Y

)

.

Let

X, Y

P

(

A

B

)

\ {∅}

and

X

Y

=

A

B

X

Y

=

. Then by the

lemma either

{

X, Y

}

=

{

A, B

}

and thus

X r Y

A r B

so having

X r Y

, or

A

intersects both

X

and

Y

or

B

intersects both

X

and

Y

. Consider for example

then case

X

A

6

=

and

Y

A

6

=

.

In this case we have (

X

A

)

(

Y

A

) = (

X

Y

)

A

= (

A

B

)

A

=

A

and (

X

A

)

(

Y

A

)

X

Y

=

. Thus

X

A r Y

A

and consequently

X r Y

(taken in account extendability).

Corollary 3

If sets

A, B

P

U

are connected regarding an extendable connec-

tor space

(

U

;

r

)

and

A

B

6

=

then

A

B

is also connected regarding

(

U

;

r

)

.

Proof

Replace

r

with its normalization

N

(

r

). This preserves the same con-

nectedness.

A

B

6

=

∅ ⇒

A N

(

r

)

B

. Thus we can apply the theorem.

There holds also infinite version of the previous corollary:

Theorem 8

If

S

P P

U

is a collection of connected (regarding an extendable

connector space

(

U

;

r

)

) sets and

T

S

6

=

then

S

S

is connected (regarding this

connector space).

Proof

Let

{

X, Y

}

is a partition of

S

S

. Then exist a point

p

T

S

such

that

p

X

or

p

Y

. Without lost of generality we may assume

p

X

. Since

Y

6

=

, we have

q

Y

for some

q

S

S

that is

q

A

for some

A

S

. So

A

X, A

Y

6

=

and thus

{

A

X, A

Y

}

is a partition of

A

. Since

A

is

connected, we have

A

X r A

Y

and thus (taken in account extendability)

X r Y

. So

S

S

is connected.

14