background image

5. Properties

5.1. Extendability

Definition 16

I will call a connector space

(

U

;

r

)

up-directed

when

X

0

, Y

0

, X

1

, Y

1

P

U

: (

X

0

r Y

0

X

1

X

0

Y

1

Y

0

X

1

r Y

1

)

.

Definition 17

I will call a connector space

(

U

;

r

)

extendable

when

X

0

, Y

0

, X

1

, Y

1

P

U

: (

X

1

Y

1

=

∅∧

X

0

r Y

0

X

1

X

0

Y

1

Y

0

X

1

r Y

1

)

.

Obvious 11

Every up-directed connector space is extendable.

Example 1

The following connector spaces are up-directed (and thus extend-

able):

1. the connector space defined by the formula (2);

2. (

U

; [

f

]) for every digraph (

U

;

f

);

3.

Q

(

U

;

τ

) for an increasing link space (

U

;

τ

);

4. the connector space defined by the formula (4);

5. A proximity space (

U

;

δ

).

Proposition 11

A connector space is extendable iff its normalization is up-

directed.

Proof

Let

X N

(

r

)

Y

and

X

X

,

Y

Y

. We have

X

6

=

,

Y

6

=

. If

X

Y

6

=

then

X

N

(

r

)

Y

. Otherwise by extendabilty

X

r Y

and consequently

X

N

(

r

)

Y

. Thus

N

(

r

) is up-directed.

Let

X

1

Y

1

=

∅ ∧

X

0

r Y

0

X

1

X

0

Y

1

Y

0

. Then

X

0

N

(

r

)

Y

0

and

consequently

X

1

N

(

r

)

Y

1

. So

X

1

r Y

1

.

5.2. Criteria of connectedness

Obvious 12

Empty set is connected regarding every connector.

Obvious 13

Every singleton is connected regarding every connector.

13