 Proof

First prove that

{

A

B

|

A

a, B

b

}

is a filter. Let

X, Y

∈ {

A

B

|

A

a, B

b

}

.

Then

X

=

A

1

B

1

and

Y

=

A

2

B

2

where

A

1

, A

2

a

and

B

1

, B

2

b

. Con-

sequently

X

Y

= (

A

1

A

2

)

(

B

1

B

2

) where

A

1

A

2

a

,

B

1

B

2

b

;

thus

X

Y

∈ {

A

B

|

A

a, B

b

}

. Let

X

∈ {

A

B

|

A

a, B

b

}

and

C

X

. We have

X

=

A

B

where

A

a

,

B

b

. We have

C

=

C

X

=

C

(

A

B

) = (

C

A

)

(

C

B

) where

C

A

a

and

C

B

b

; thus

C

∈ {

A

B

|

A

a, B

b

}

. So

{

A

B

|

A

a, B

b

}

is a filter.

We need to prove that

{

A

B

|

A

a, B

b

}

is the lowest upper bound

of

{

a, b

}

. We have

{

A

B

|

A

a, B

b

} ⊇

a

because if

X

a

then

X

=

X

U

∈ {

A

B

|

A

a, B

b

}

. Similarly

{

A

B

|

A

a, B

b

} ⊇

b

. Thus

it is an upper bound.

Let

p

is an upper bound of

{

a, b

}

. Then

p

a

that is

A

a

:

A

p

and

B

b

:

B

p

. Thus because

p

is a filter we have

A

a, B

b

:

A

B

p

that is

p

⊇ {

A

B

|

A

a, B

b

}

.

Proposition 6

[

A

)

F

[

B

) = [

A

B

)

for every subsets

A

and

B

of

U

.

Proof

We need to prove that [

A

B

) is the least upper bound of

{

[

A

)

,

[

B

)

}

.

That [

A

B

)

[

A

)

,

[

B

) is obvious.

Remained to prove that

a

∈ F

: (

a

[

A

)

,

[

B

)

a

[

A

B

)). Really,

a

[

A

)

,

[

B

)

A, B

a

A

B

a

a

[

A

B

)

.

4.6.2. Uniform triples

I will define uniform connectedness. Below I will show that my definition is

equivalent to the classical definition of uniform connectedness.

I will call a

uniform triple

on a set

U

the triple (

f

;

A

;

B

) where

f

is a filter

on

P

(

U

×

U

) and

A

,

B

are such sets that

A

×

B

f

. Note that uniform spaces

can be considered as uniform triples with

A

=

B

. I will denote

R

the set of

filters on

P

(

U

×

U

) and

U

the set of uniform triples.

I will call a

generalized uniform space

a uniform triple with

A

=

B

.

Remark 4

In fact there can be defined composition of uniform triples and they

thus form morphisms of certain category. But in this article I’ll not dive into
details here. See my draft article .

We will introduce order on the set of uniform triples on a set by the formula

(

f

;

A

0

;

B

0

)

(

g

;

A

1

;

B

1

)

f

g

A

0

A

1

B

0

B

1

.

Easy to see that (

f

;

A

0

;

B

0

)

U

(

g

;

A

1

;

B

1

) = (

f

R

g

;

A

0

A

1

;

B

0

B

1

).

For a morphism (

f

;

A

;

B

) of the category of binary relations, I will denote

[(

f

;

A

;

B

)) = ([

f

);

A

;

B

). Easy to see that [(

f

;

A

;

B

)) is a uniform triple.

By abuse of notation I will denote

(

f

;

A

0

;

B

0

)

(

g

;

A

1

;

B

1

)

f

g

A

0

=

A

1

B

0

=

B

1

where

f

is a binary relation and

g

is a filter on

P

(

U

×

U

).

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