background image

Then

g

=

h

f

×

f

i

.

Proof.

From the above

h

f

×

f

i

g

g

1

g

.

[FIXME: Funcoids and reloids are confused.]

It’s remainded to prove

g

⊑ h

f

×

f

i

.

[FIXME: Possible errors.]

Suppose there is

U

xyGR

h

f

×

f

i

such that

U

GR

g

.

Then

{

V

\

U

|

V

GR

g

}

=

g

\

U

would be a proper filter.

Thus by reflexivity

h

f

×

f

i

(

g

\

U

)

0

.

By compactness of

f

×

f

, Cor

h

f

×

f

i

(

g

\

U

)

0

.

Suppose

↑{

(

x

;

x

)

} ⊑ h

f

×

f

i

(

g

\

U

)

; then

g

\

U

h

f

1

×

f

1

i{

(

x

;

x

)

}

;

U

h

f

1

×

f

1

i{

(

x

;

x

)

} ⊑ h

f

1

×

f

1

i

what is impossible.

Thus there exist

x

y

such that

{

(

x

;

y

)

} ⊑

Cor

h

f

×

f

i

(

g

\

U

)

. Thus

{

(

x

;

y

)

} ⊑ h

f

×

f

i

g

.

Thus by the lemma

{

(

x

;

y

)

} ⊑

what is impossible. So

U

GR

g

.

We have xyGR

h

f

×

f

i

GR

g

;

h

f

×

f

i

g

.

Corollary 18.

Let

f

is a

T

1

-separable (the same as

T

2

for symmetric transitive) compact funcoid

and

g

is a uniform space (reflexive, symmetric, and transitive endoreloid) such that

(

FCD

)

g

=

f

.

Then

g

=

h

f

×

f

i

.

An (incomplete) attempt to prove one more theorem follows:

Theorem 19.

Let

µ

and

ν

be uniform spaces,

(

FCD

)

µ

be a compact funcoid. Then a map

f

is a

continuous map from

(

FCD

)

µ

to

(

FCD

)

ν

iff

f

is a (uniformly) continuous map from

µ

to

ν

.

Proof.

[FIXME: errors in this proof.]

We have

µ

=

h

(

FCD

)

µ

×

(

FCD

)

µ

i↑

RLD

f

C

?

((

FCD

)

µ

; (

FCD

)

ν

)

. Then

f

×

f

C

?

((

FCD

)(

µ

×

µ

); (

FCD

)(

ν

×

ν

))

(

f

×

f

)

(

FCD

)(

µ

×

µ

)

(

FCD

)(

ν

×

ν

)

(

f

×

f

)

For every

V

GR

(

ν

×

ν

)

we have

h

g

1

i

V

∈ h

(

FCD

)(

µ

×

µ

)

i{

y

}

for some

y

.

h

g

1

i

V

∈ h

(

FCD

)

µ

×

(

FCD

)

µ

i↑

RLD

∆ =

GR

µ

h

g

ih

g

1

i

V

V

We need to prove

f

C

(

µ

;

ν

)

that is

p

GR

ν

q

GR

µ

:

h

f

i

q

p

. But this follows from the

above.

Bibliography

[1]

Victor Porton. Categorical product of funcoids. At

http://www.mathematics21.org/binaries/product.pdf

.

[2]

Victor Porton.

Algebraic General Topology. Volume 1

. 2013.

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