background image

Compact funcoids

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

Abstract

Compact funcoids are defined. Under certain conditions it’s proved that the reloid corre-
sponding to a compact funcoid is the neighbourdhood of the diagonal of the product funcoid.

Preface

This is a rough partial draft. The proofs are with errors.

In order to understand it, first read my book [2] and this draft article [1].

The rest

Definition 1.

A funcoid

f

is

directly compact

iff

∀F ∈

F

: (

h

f

iF

0

Cor

h

f

iF

0)

.

Obvious 2.

A funcoid

f

is directly compact iff

a

atoms dom

f

:

Cor

h

f

i

a

0

.

Definition 3.

A funcoid

f

is

reversely compact

iff

f

1

is directly compact.

Definition 4.

A funcoid is

compact

iff it is both directly compact and reversely compact.

Proposition 5.

Q

RLD

a

=

RLD

Q

i

dom

a

(

RLD

)

1

a

i

for every indexed family

a

of principal filters.

Proof.

Because

Q

i

dom

a

(

RLD

)

1

a

i

GR

Q

RLD

a

.

[TODO: More detailed proof.]

Lemma 6.

Q

i

dom

a

RLD

Cor

a

i

=

Cor

Q

RLD

a

.

Proof.

Cor

Q

RLD

a

=

d

{↑

RLD

Q

A

|

A

up

a

}

=

RLD

T

{

Q

A

|

A

up

a

}

=

RLD

T

{

Q

A

|

A

P

Q

U

,

i

dom

a

:

A

i

up

a

i

}

=

RLD

T

{

Q

T

K

i

|

K

PP

Q

U

,

i

dom

a

:

K

i

P

up

a

i

}

=

RLD

T

{

Q

(

RLD

)

1

Cor

a

i

|

i

dom

a

}

=

RLD

Q

i

dom

a

RLD

Cor

a

i

.

[TODO: Check for little errors.]

Corollary 7.

Q

i

n

RLD

h

CoCompl

f

i

iX

i

=

D

CoCompl

Q

(

A

)

f

E

Q

RLD

X

for every

n

-indexed families

f

of funcoids and

X

of filters on the same set (with Src

f

i

=

Base

(

X

i

)

for every

i

n

).

1