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Theorem 34.

A symmetric transitive reloid is totally bounded iff its Cauchy space is totally

bounded.

Proof.

.

Let

F

be a proper filter on Ob

ν

and let

a

atoms

F

. It’s enough to prove that

a

is Cauchy.

Let

D

GR

ν

. Let also

E

GR

ν

is symmetric and

E

E

D

. There existsa finite subset

F

Ob

ν

such that

h

E

i

F

=

Ob

ν

. Then obviously exists

x

F

such that

a

⊑ ↑

Ob

ν

h

E

i{

x

}

,

but

h

E

i{

x

} × h

E

i{

x

}

=

E

1

(

{

x

} × {

x

}

)

E

D

, thus

a

×

RLD

a

⊑ ↑

RLD

(

Ob

ν

;

Ob

ν

)

D

.

Because

D

was taken arbitrary, we have

a

×

RLD

a

ν

that is

a

is Cauchy.

.

Suppose that Cauchy space associated with a reloid

ν

is totally bounded but the reloid

ν

isn’t totally bounded. So there exists a

D

GR

ν

such that

(

Ob

ν

)

\ h

D

i

F

for every

finite set

F

.

Consider the filter base

S

=

{

(

Ob

ν

)

\ h

D

i

F

|

F

P

Ob

ν , F

is finite

}

and the filter

F

=

d

h↑

Ob

ν

i

S

generated by this base. The filter

F

is proper because

intersection

P

Q

S

for every

P , Q

S

and

S

. Thus there exists a Cauchy (for our

Cauchy space) filter

X ⊑ F

that is

X ×

RLD

X ⊑

ν

.

Thus there exists

M

∈ X

such that

M

×

M

D

. Let

F

be a finite subset of Ob

ν

.

Then

(

Ob

ν

)

\ h

D

i

F

∈ F ⊒ X

. Thus

M

(

Ob

ν

)

\ h

D

i

F

and so there exists a point

x

M

((

Ob

ν

)

\ h

D

i

F

)

.

h

M

×

M

i{

p

} ⊆ h

D

i{

x

}

for every

p

M

; thus

M

⊆ h

D

i{

x

}

.

So

M

⊆ h

D

i

(

F

∪ {

x

}

)

. But this means that

M

∈ X

does not intersect

(

Ob

ν

)

\

h

D

i

(

F

∪ {

x

}

)

∈ F ⊒ X

, what is a contradiction (taken into account that

X

is proper).

http://math.stackexchange.com/questions/104696/pre-compactness-total-boundedness-and-

cauchy-sequential-compactness

10 Totally bounded funcoids

Definition 35.

A funcoid

ν

is totally bounded iff

X

Ob

ν

∃X ∈

F

Ob

ν

: (0

X ⊑ ↑

Ob

ν

X

∧ X ×

FCD

X ⊑

ν

)

.

This can be rewritten in elementary terms (without using funcoidal product:

X ×

FCD

X ⊑

ν

⇔ ∀

P

X

:

X ⊑ h

ν

i

P

⇔ ∀

P

X

, Q

X

:

P

[

ν

]

Q

⇔ ∀

P , Q

Ob

ν

:

(

E

∈ X

: (

E

P

∅ ∧

E

Q

)

P

[

ν

]

Q

)

.

Note that probably I am the first person which has written the above formula (for proximity

spaces for instance) explicitly.

11 On principal low filter spaces

Definition 36.

A low filter space

(

U

;

C

)

is

principal

when all filters in

C

are principal.

Definition 37.

A low filter space

(

U

;

C

)

is

reflexive

when

x

U

:

U

{

x

} ∈

C

.

Proposition 38.

Having fixed a set

U

, principal reflexive low filter spaces on

U

bijectively cor-

respond to principal reflexive symmertic endoreloids on

U

.

Proof.

??

http://math.stackexchange.com/questions/701684/union-of-cartesian-squares

On principal low filter spaces

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