background image

Proposition 26.

(

Low

)

ν

is a completely Cauchy space for every symmetrically transitive

endoreloid

ν

.

Proof.

Suppose

S

P

{X ∈

F

\ {

0

F

} | X ×

RLD

X ⊑

ν

}

and

S

.

F

{X ×

RLD

X | X ∈

S

} ⊑

ν

;

F

{X ×

RLD

X | X ∈

S

} ◦

F

{X ×

RLD

X | X ∈

S

} ⊑

ν

;

F

S

×

RLD

F

S

ν

(taken into account that

S

has nonempty meet). Thus

F

S

is Cauchy.

Proposition 27.

The neighbourhood filter

h

(

FCD

)

ν

i

{

x

}

of a point

x

Ob

ν

is a maximal Cauchy

filter, if it is a Cauchy filter and

ν

is a reflexive reloid.

[TODO: Does it holds for all low filters?]

Proof.

Let

N

=

h

(

FCD

)

ν

i

{

x

}

. Let

C

N

be a Cauchy filter. We need to show

N

C

.

Since

C

is Cauchy filter,

C

×

RLD

C

ν

. Since

C

N

we have

C

is a neighborhood of

x

and thus

Ob

ν

{

x

} ⊑

C

(reflexivity of

ν

). Thus

Ob

ν

{

x

} ×

RLD

C

C

×

RLD

C

and hence

Ob

ν

{

x

} ×

RLD

C

ν

;

C

im

(

ν

|

Ob

ν

{

x

}

) =

h

(

FCD

)

ν

i

{

x

}

=

N

.

7 Cauchy continuous functions

Definition 28.

A function

f

:

U

V

is

Cauchy continuous

from a low filters space

(

U

;

C

)

to a

low filters space

(

V

;

D

)

when

∀X ∈

C

:

h↑

FCD

f

iX ∈

D

.

Proposition 29.

Let

f

is a principal reloid. Then

f

C

((

RLD

)

Low

C

; (

RLD

)

Low

D

)

iff

f

is Cauchy

continuous.

f

(

RLD

)

Low

C

f

1

(

RLD

)

Low

D

G

{

f

(

X ×

RLD

X

)

f

1

| X ∈

C

} ⊑

(

RLD

)

Low

D

G

{h↑

FCD

f

iX ×

RLD

h↑

FCD

f

iX | X ∈

C

} ⊑

(

RLD

)

Low

D

∀X ∈

C

:

h↑

FCD

f

iX ×

RLD

h↑

FCD

f

iX ⊑

(

RLD

)

Low

D

∀X ∈

C

:

h↑

FCD

f

iX ∈

D

.

Thus we have expressed Cauchy properties through the algebra of reloids.

8 Cauchy-complete reloids

Definition 30.

An endoreloid

ν

is

Cauchy-complete

iff every low filter for this reloid converges to

a point.

Remark 31.

In my book [1]

complete reloid

means something different. I will always prepend the

word “Cauchy” to the word “complete” when meaning is by the last definition.

https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_uniform_space#Completeness

9 Totally bounded

http://ncatlab.org/nlab/show/Cauchy+space

Definition 32.

Cauchy space is called

totally bounded

when every proper filter contains a Cauchy

filter.

Obvious 33.

A reloid

ν

is totally bounded iff

X

P

Ob

ν

∃X ∈

F

Ob

ν

: (0

X ⊑ ↑

Ob

ν

X

∧ X ×

RLD

X ⊑

ν

)

.

4

Section 9