background image

Obvious 7.

Every completely Cauchy space is a Cauchy space.

Proposition 8.

F

{X ∈

C

| X ⊒F }

S

=

F

S

for nonempty

S

P

{X ∈

C

| X ⊒ F }

, provided that

F

is a fixed Cauchy filter on a completely Cauchy space.

Proof.

F

is proper. So for every nonempty

S

P

{X ∈

C

| X ⊒ F }

we have

d

S

⊒ F

0

F

(

X

)

.

Thus

F

S

is a Cauchy filter and so

F

S

∈ {X ∈

C

| X ⊒ F }

.

Proposition 9.

If

F

is a fixed Cauchy filter on a completely Cauchy space, then the poset

{X ∈

C

| X ⊒ F }

(with the induced order) is a complete lattice.

Proof.

If

S

then

F

{X ∈

C

| X ⊒F }

S

=

F

S

. If

S

=

then

F

{X ∈

C

| X ⊒F }

S

=

F

.

Corollary 10.

If

F

is a fixed Cauchy filter on a completely Cauchy space, then the poset

{X ∈

C

| X ⊒ F }

(with the induced order) has a maximum.

4 Relationships with symmetric reloids

Definition 11.

Denote

(

RLD

)

Low

(

U

;

C

) =

F

{X ×

RLD

X | X ∈

C

}

.

Definition 12.

(

Low

)

ν

(

low filters

for reloid

ν

) is a low filters space on

U

such that

PR

(

Low

)

ν

=

{X ∈

F

U

\ {

0

F

} | X ×

RLD

X ⊑

ν

}

.

Theorem 13.

If

(

U

;

C

)

is a low filters space, then

(

U

;

C

) = (

Low

)(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

.

Proof.

If

X ∈

C

then

X ×

RLD

X ⊑

(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

and thus

X ∈

PR

(

Low

)(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

. Thus

(

U

;

C

)

(

Low

)(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

.

Let’s prove

(

U

;

C

)

(

Low

)(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

.

Let

A ∈

PR

(

Low

)(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

. We need to prove

A ∈

C

.

Really

A ×

RLD

A ⊑

(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

. It is enough to prove that

∃X ∈

C

:

A ⊑ X

.

Suppose

X ∈

C

:

A ⊑ X

.

For every

X ∈

C

obtain

X

X

∈ X

such that

X

X

A

(if forall

X

∈ X

we have

X

X

∈ A

, then

X ⊒ A

what is contrary to our supposition).

It is now enough to prove

A ×

RLD

A ⊑

F

{↑

U

X

X

×

RLD

U

X

X

| X ∈

C

}

.

Really,

F

{↑

U

X

X

×

RLD

U

X

X

| X ∈

C

}

=

RLD

(

U

;

U

)

S

{

X

X

×

X

X

| X ∈

C

}

. So our claim takes

the form

S

{

X

X

×

X

X

| X ∈

C

}

GR

(

A ×

RLD

A

)

that is

A

∈ A

:

S

{

X

X

×

X

X

| X ∈

C

}

+

A

×

A

what is true because

X

X

+

A

for every

A

∈ A

.

Remark 14.

The last theorem does not hold with

X ×

FCD

X

instead of

X ×

RLD

X

(take

C

=

{{

x

} |

x

U

}

for an infinite set

U

as a counter-example).

Remark 15.

Not every symmetric reloid is in the form

(

RLD

)

Low

(

U

;

C

)

for some Cauchy space

(

U

;

C

)

. The same Cauchy space can be induced by different uniform spaces. See http://math.stack-

exchange.com/questions/702182/different-uniform-spaces-having-the-same-set-of-cauchy-filters

[TODO: Is composition of two images of low filter spaces also a low filters space?]

5 More on Cauchy filters

Obvious 16.

Low filter on an endoreloid

ν

is a filter

F

such that

U

GR

f

A

∈ F

:

A

×

A

U .

Remark 17.

The above formula is the standard definition of Cauchy filters on uniform spaces.

2

Section 5