background image

Cauchy Filters on Reloids

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

March 7, 2014

Abstract

In this article I consider

low filters

on reloids, generalizing Cauchy filters on uniform spaces.

Using low filters, I define Cauchy-complete reloids, generalizing complete uniform spaces.

1 Preface

This is a preliminary partial draft.

To understand this article you need first look into my book [1].
As my book is yet in preprint stage and I may change it, I probably will integrate the content

of this article into the book.

http://math.stackexchange.com/questions/401989/what-are-interesting-properties-of-totally-

bounded-uniform-spaces

http://ncatlab.org/nlab/show/proximity+space#uniform_spaces for a proof sketch that prox-

imities correspond to totally bounded uniformities.

2 Low filters space

Definition 1.

A

lower set

1

of proper filters

on

U

(a set) is a set

C

of proper filters on

U

, such

that if

0

G ⊑ F

and

F ∈

C

then

G ∈

C

.

[TODO: Probably should include the improper filter.]

Definition 2.

I call

low filters space

a set together with a lower set of proper filters on this set.

Definition 3.

PR

(

U

;

C

) =

C

; Ob

(

U

;

C

) =

U

.

2

Definition 4.

Introduce an order on low filters spaces:

(

U

;

C

)

(

U

;

D

)

C

D

.

3 Cauchy spaces

Definition 5.

A

Cauchy space

on a set

X

is a low filters space

(

U

;

C

)

(element of

C

are called

Cauchy filters

) such that:

1.

x

U

:

X

{

x

} ∈

C

;

2. If

F

,

G

are Cauchy filters and

F

G

then

F ⊔ G

is a Cauchy filter.

Definition 6.

A

completely Cauchy space

on a set

X

is a low filters space

(

U

;

C

)

(element of

C

are called

Cauchy filters

) such that:

1.

x

X

:

X

{

x

} ∈

C

;

2. If

S

is a nonempty set of Cauchy filters and

d

S

0

F

(

X

)

then

F

S

is a Cauchy filter.

1. Remember that our orders on filters is the reverse to set theoretic inclusion. It could be called an

upper

set

in other sources.

2. PR is from English word

profile

.

1