 Due its injectivity and functoriality, it is enough to prove:

1. binary products are preserved

2. for every

ε

T

A,

T

B

Dig

there exist

ε

A,B

Fcd

such that

ε

T

A,

T

B

Dig

= T

ε

A,B

Fcd

3. for every

f

: T

A

T

B

there exists

g

:

A

B

that

Dig

f

= T

Fcd

g

Consider

ε

T

A,

T

B

Dig

. Then

ε

T

A,

T

B

Dig

X

= (T

B

)

T

A

X

= (

λX

P

Ob

B

:

h

B

i

X

)

λX

P

Ob

A

:

h

A

i

X

X

(

λX

P

Ob

B

:

h

B

i

X

)

for as suitable

X

. Thus ??

ε

T

A,

T

B

Dig

0 = 0

and

ε

T

A,

T

B

Dig

(

I

J

) =

ε

T

A,

T

B

Dig

I

ε

T

A,

T

B

Dig

J

.

Consequently

ε

A,B

Fcd

exists.

Consider

f

: T

A

T

B

.

??

Then

f

(T

B

)

T

A

and

f

C

(T

A

; T

B

)

.

fX

= ??

(

Dig

f

)(

p

;

q

) =

f

(

p

)(

q

) =

Thus ??

??

Binary products are subatomic products and so are compatible with products of graphs.

A try to prove this directly:

Proposition 10.

Transposition and its inverse are morphisms of

Fcd

.

Proof.

??

[TODO: Use below sets instead of ultrafilters.]

It follows from the equivalence (??is it an equivalence? the last step seems just an implication)

f

:

A

MOR

(

B

;

C

)

⇔ ∀

x, y

atoms

F

: (

x

[

A

]

y

⇒ h∼

f

i

x

[

MOR

(

B

;

C

)]

h∼

f

i

y

)

⇔ ∀

x,

y

atoms

F

: (

x

[

A

]

y

⇒ ∀

(

v

;

w

)

atoms

B

: (

h∼

f

i

x v

×

FCD

h∼

f

i

y w

)

atoms

C

)

⇔ ∀

x, y,

v , w

: (

x

[

A

]

y

v

[

B

]

w

(

h∼

f

i

x v

×

FCD

h∼

f

i

y w

)

atoms

C

)

⇔ ∀

x, y, v , w

atoms

F

:

(

x

×

RLD

v

[

A

×

B

]

y

×

RLD

w

(

f

(

x

;

v

);

f

(

y

;

w

))

C

)

f

:

A

×

B

C

.

Exponentials in category Rld

TODO

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