background image

Remark 4.

Category of digraphs is sometimes defined in an other (non equivalent) way, allowing

multiple edges between two given vertices.

Definition 5.

Category

Fcd

of continuous maps between endofuncoids is the category whose

objects are endofuncoids and morphisms are proximally continuous maps between endofuncoids.
That is morphisms from an endofuncoid

µ

to an endofuncoid

ν

are functions (or more precisely

morphisms of

Set

)

f

such that

FCD

f

µ

ν

◦ ↑

FCD

f

(or equivalently

µ

⊑ ↑

FCD

f

1

ν

◦ ↑

FCD

f

or

equivalently

FCD

f

µ

◦ ↑

FCD

f

1

ν

).

Definition 6.

Category

Rld

of continuous maps between endoreloids is the category whose objects

are endoreloids and morphisms are uniformly continuous maps between endoreloids. That is mor-
phisms from an endoreloid

µ

to an endoreloid

ν

are functions (or more precisely morphisms of

Set

)

f

such that

RLD

f

µ

ν

◦ ↑

RLD

f

(or equivalently

µ

⊑ ↑

RLD

f

1

ν

◦ ↑

RLD

f

or equivalently

RLD

f

µ

◦ ↑

RLD

f

1

ν

).

Category of digraphs is cartesian closed

Category of digraphs is the simplest of our three categories and it is easy to demonstrate that it
is cartesian closed. I demonstrate cartesian closedness of

Dig

mainly with the purpose to show a

pattern similarly to which we may probably demonstrate our two other categories are cartesian
closed.

Let

G

and

H

be graphs:

Ob MOR

(

G

;

H

) = (

Ob

H

)

Ob

G

;

(

f

;

g

)

GR MOR

(

G

;

H

)

⇔ ∀

(

v

;

w

)

GR

G

: (

f

(

v

);

g

(

w

))

GR

H

for every

f , g

Ob MOR

(

G

;

H

) = (

Ob

H

)

Ob

G

;

GR

1

MOR

(

B

;

C

)

=

id

Ob MOR

(

B

;

C

)

=

id

(

Ob

H

)

Ob

G

Equivalently

(

f

;

g

)

GR MOR

(

G

;

H

)

⇔ ∀

(

v

;

w

)

GR

G

:

g

◦ {

(

v

;

w

)

} ◦

f

1

GR

H

(

f

;

g

)

GR MOR

(

G

;

H

)

g

(

GR

G

)

f

1

GR

H

(

f

;

g

)

GR MOR

(

G

;

H

)

f

×

(

C

)

g

GR

G

GR

H

The transposition (the isomorphism) is uncurrying.

f

=

λa

Zλy

A

:

f

(

a

;

y

)

that is

(

f

)(

a

)(

y

) =

f

(

a

;

y

)

.

(

f

)(

a

;

y

) =

f

(

a

)(

y

)

If

f

:

A

×

B

C

then

f

:

A

MOR

(

B

;

C

)

Proposition 7.

Transposition and its inverse are morphisms of

Dig

.

Proof.

It follows from the equivalence

f

:

A

MOR

(

B

;

C

)

⇔ ∀

x, y

: (

xAy

(

f

)

x

(

MOR

(

B

;

C

)) (

f

)

y

)

⇔ ∀

x, y

: (

xAy

⇒ ∀

(

v

;

w

)

B

: ((

f

)

xv

; (

f

)

yw

)

C

)

⇔ ∀

x, y, v , w

: (

xAy

v Bw

((

f

)

x v

; (

f

)

y w

)

C

)

⇔ ∀

x, y, v, w

: ((

x

;

v

) (

A

×

B

) (

y

;

w

)

(

f

(

x

;

v

);

f

(

y

;

w

))

C

)

f

:

A

×

B

C

.

Evaluation

ε

:

MOR

(

G

;

H

)

×

G

H

is defined by the formula:

2