background image

Certain categories are cartesian closed

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

November 25, 2013

Abstract

I prove that the category of continuous maps between endofuncoids is cartesian closed.
Whether the category of continuous maps between endoreloids is cartesian closed is yet an
open problem.

This is a rough draft. There are errors!

Cartesian closed categories

Definition 1.

A category is

cartesian closed

iff:

It has finite products.

For each objects

A

,

B

is given an object MOR

(

A

;

B

)

(

exponentiation

) and a morphism

ε

A,B

Dig

:

MOR

(

A

;

B

)

×

A

B

.

For each morphism

f

:

Z

×

A

B

there is given a morphism (

exponential transpose

)

f

:

Z

MOR

(

A

;

B

)

.

ε

(

f

×

1

A

) =

f

.

(

ε

(

g

×

1

A

)) =

g

.

Our puspose is to prove (or disprove) that categories

Dig

,

Fcd

, and

Rld

are cartesian closed.

Note that they have finite (and even infinite) products is already proved in http://www.mathe-
matics21.org/binaries/product.pdf

Definitions of our categories

Categories

Dig

,

Fcd

, and

Rld

are respectively categories of:

1. discretely continuous maps between digraphs;

2. (proximally) continuous maps between endofuncoids;

3. (uniformly) continuous maps between endoreloids.

Definition 2.

Digraph

is an endomorphism of the category

Rel

.

Definition 3.

Category

Dig

of digraphs is the category whose objects are digraphs and morphisms

are discretely continuous maps between digraphs. That is morphisms from a digraph

µ

to a digraph

ν

are functions (or more precisely morphisms of

Set

)

f

such that

f

µ

ν

f

(or equivalently

µ

f

1

ν

f

or equivalently

f

µ

f

1

ν

).

1