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Proof.

Let thick

α

(

E

)

. Then there exists a finite cover

S

of the set Ob

E

such that

A

S

:

A

×

A

GR

E

. Without loss of generality assume

A

for every

A

S

. So

A

⊆ h

E

i{

x

A

}

for some

x

A

for every

A

S

. So

h

E

i{

x

A

|

A

S

}

=

S

{h

E

i{

x

A

} |

A

S

}

=

Ob

E

and thus

E

is

β

-thick.

Obvious 7.

Let

X

be a set,

A

and

B

are

Rel

-endorelations on

X

and

B

A

. Then:

thick

α

(

A

)

thick

α

(

B

)

;

thick

β

(

A

)

thick

β

(

B

)

.

Example 8.

There is a

β

-thick

Rel

-morphism which is not

α

-thick.

Proof.

Consider the

Rel

-morphism on

[0; 1]

with the below graph:

Γ =

{

(

x

;

x

)

|

x

[0; 1]

} ∪ {

(

x

; 0)

|

x

[0; 1]

} ∪ {

(0;

x

)

|

x

[0; 1]

}

.

Γ

is

β

-chick because

h

Γ

i{

0

}

= [0; 1]

.

To prove that

Γ

is not

α

-thick it’s enough to prove that every set

A

such that

A

×

A

Γ

is finite.

Suppose for the contrary that

A

is infinite. Then

A

contains more than one non-zero points

y

,

z

(

y

z

). Without loss of generality

y < z

. So we have that

(

y, z

)

is not of the form

(

y

;

y

)

nor

(0;

y

)

nor

(

y

; 0)

. Therefore

A

×

A

isn’t a subset of

Γ

.

Totally bounded endo-reloids

The below is a straightforward generalization of the customary definition of totally bounded sets
on uniform spaces (it’s proved below that for uniform spaces the below definitions are equivalent).

Definition 9.

An endoreloid

f

is

α

-totally bounded

(totBound

α

(

f

)

) if every

E

xyGR

f

is

α

-thick.

Definition 10.

An endoreloid

f

is

β

-totally bounded

(totBound

β

(

f

)

) if every

E

xyGR

f

is

β

-

thick.

Remark 11.

We could rewrite the above definitions in a more algebraic way like xyGR

f

thick

α

(with thick

α

would be defined as a set rather than as a predicate), but we don’t really need this

simplification.

Proposition 12.

If an endoreloid is

α

-totally bounded then it is

β

-totally bounded.

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