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Total boundness of reloids

by Victor Porton

June 6, 2013

Abstract

I generalize total boundness of uniform spaces for arbitrary reloids (filters on a cartesian pro-
duct of sets). For reloids total boundness splits into two different concepts:

α

-total boundness

and

β

-total boundness.

Notation

I call

reloid

a triple

(

A

;

B

;

F

)

where

A

,

B

are sets and

F

is a filter on the cartesian product

A

×

B

of these sets. I will denote GR

(

A

;

B

;

F

) =

F

for a reloid

(

A

;

B

;

F

)

. Reloids are a generalization

of uniform spaces.

Source

of a reloid is Src

(

A

;

B

;

F

) =

A

and destination Dst

(

A

;

B

;

F

) =

B

. I also

denote xyGR

(

A

;

B

;

F

) =

{

(

A

;

B

;

f

)

|

f

F

}

.

I will refer to a pair

f

= (

U

;

E

)

of a (small) set

U

and a binary relation

E

E

×

E

as

Rel

-

endomorphism. Furthermore Ob

f

=

U

and GR

f

=

E

.

I denote

h

E

i

X

=

{

y

| ∃

x

X

:

x E y

}

for a binary relation

E

and set

X

and

h

E

i

X

=

h

GR

E

i

X

for

a

Rel

-endomorphism

E

.

I define composition of reloids

(

B

;

C

;

G

)

(

A

;

B

;

F

) = (

A

;

C

;

H

)

where

H

is the filter induced by

the filter base

{

g

f

|

f

F , g

G

}

.

The reverse reloid is defined by the formula

(

A

;

B

;

F

)

1

= (

B

;

A

;

F

1

)

.

I define partial order on the set of reloids as

(

A

;

B

;

F

)

(

A

;

B

;

G

)

F

G

. The set of reloids with

given source and destination is a complete lattice with join denoted

and meet denotes

.

See http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html for more details.

Thick binary relations

Definition 1.

I will call

α

-thick

and denote thick

α

(

E

)

a

Rel

-endomorphism

E

when there exists

a finite cover

S

of Ob

E

such that

A

S

:

A

×

A

GR

E

.

Definition 2.

CS

(

S

) =

S

{

A

×

A

|

A

S

}

for a collection

S

of sets.

Remark 3.

CS means “cartesian squares”.

Obvious 4.

A

Rel

-endomorphism is

α

-thick

iff there exists a finite cover

S

of Ob

E

such that

CS

(

S

)

GR

E

.

Definition 5.

I will call

β

-thick

and denote thick

β

(

E

)

a

Rel

-endomorphism

E

when iff there

exists a finite set

B

such that

h

E

i

B

=

Ob

E

.

Proposition 6.

thick

α

(

E

)

thick

β

(

E

)

.

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