background image

Backward Funcoids

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

December 15, 2014

This is a preliminary partial draft.

Fix a family

A

of posets.

Denition 1.

Let

f

be a staroid of lters

F

(

A

i

)

on boolean lattices

A

i

.

Backward funcoid

for the

argument

k

2

dom

A

of

f

is the funcoid Back

(

f

;

k

)

dened by the formula (for every

X

2

A

k

)

h

Back

(

f

;

k

)

i

X

=

(

L

2

Y

i

2

dom

A

F

(

A

i

)

j

X

2 h

f

i

k

L

)

:

Proposition 2.

Backward funcoid is properly dened.

Proof.

h

Back

(

f

;

k

)

i

(

X

t

Y

) =

f

L

2

Q

A

j

X

t

Y

2 h

f

i

k

L

g

=

f

L

2

Q

A

j

X

2 h

f

i

k

L

_

Y

2 h

f

i

k

L

g

=

f

L

2

Q

A

j

X

2 h

f

i

k

L

g [ f

L

2

Q

A

j

Y

2 h

f

i

k

L

g

=

h

Back

(

f

;

k

)

i

X

[ h

Back

(

f

;

k

)

i

Y

.

Obvious 3.

Backward funcoid is co-complete.

Proposition 4.

If

f

is a principal staroid then Back

(

f

;

k

)

is a complete funcoid.

[TODO: generalize

for boolean lattices?]

Proof.

??

Proposition 5.

f

can be restored from Back

(

f

;

k

)

(for every xed

k

).

Proof.

??

Proposition 6.

f

7!

Back

(

f

;

k

)

is an order isomorphism

Strd

A

!

FCD

¡

A

k

;

Strd

i

2

(

dom

A

)

nf

k

g

.

Proof.

??

1