 Let

a

and

b

are functions on a poset. Let

a

b

iff there exist an order isomorphism

f

such that

a

=

b

f

. Evidently

is an equivalence relation.

Obvious 33.

concat

a

=

concat

b

uncurry

(

a

)

uncurry

(

b

)

for every ordinal indexed families

a

and

b

of functions taking an ordinal number of arguments.

Thank to the above, we can reduce properties of concat to properties of uncurry.

Lemma 34.

a

b

uncurry

a

uncurry

b

for every ordinal indexed families

a

and

b

of functions

taking an ordinal number of arguments.

Proof.

There exist an order isomorphism

f

such that

a

=

b

f

.

uncurry

(

a

)(

x

;

y

) = (

ax

)

y

= (

bfx

)

y

=

uncurry

(

b

)(

fx

;

y

) =

uncurry

(

b

)

g

(

x

;

y

)

where

g

(

x

;

y

) = (

fx

;

y

)

.

g

is an order isomorphism because

g

(

x

0

;

y

0

)

>

g

(

x

1

;

y

1

)

(

x

0

;

y

0

)

>

(

x

1

;

y

1

)

. (Injectivity and

surjectivity are obvious.)

Lemma 35.

Let

a

i

b

i

where

f

i

for every

i

. Then uncurry

a

uncurry

b

for every ordinal indexed

families

a

and

b

of ordinal indexed families of functions taking an ordinal number of arguments.

Proof.

Let

a

i

=

b

i

f

i

where

f

i

is an order isomorphism for every

i

.

uncurry

(

a

)(

i

;

y

) =

a

i

y

=

b

i

f

i

y

=

uncurry

(

b

)(

i

;

f

i

y

) =

uncurry

(

b

)

g

(

i

;

y

) = (

uncurry

(

b

)

g

)(

i

;

y

)

where

g

(

i

;

y

) = (

i

;

f

i

y

)

.

g

is an order isomorphism because

g

(

i

;

y

0

)

>

g

(

i

;

y

1

)

f

i

y

0

>

f

i

y

1

y

0

>

y

1

and

i

0

> i

1

g

(

i

0

;

y

0

)

> g

(

i

1

;

y

1

)

. (Injectivity and surjectivity are obvious.)

Let now

S

is an ordinal indexed family of ordinal indexed families of functions taking an ordinal

number of arguments.

Lemma 36.

uncurry

(

uncurry

S

)

uncurry

(

uncurry

S

)

.

Proof.

uncurry

S

=

λi

S

:

uncurry

(

S

i

)

;

uncurry

(

uncurry

S

)(

i

; (

x

;

y

)) = (

uncurry

S

i

)(

x

;

y

) = (

S

i

x

)

y

;

(

uncurry

(

uncurry

S

))((

i

;

x

);

y

) = ((

uncurry

S

)(

i

;

x

))

y

= (

S

i

x

)

y

.

Thus uncurry

(

uncurry

S

)(

i

; (

x

;

y

)) = (

uncurry

(

uncurry

S

))((

i

;

x

);

y

)

and thus evidently

uncurry

(

uncurry

S

)

uncurry

(

uncurry

S

)

.

Theorem 37.

concat is an infinitely associative function.

Proof.

concat

(

J

x

K

) =

x

for a function

x

taking an ordinal number of argument is obvious. It is

remained to prove

concat

(

concat

S

) =

concat

(

concat

S

);

We have, using the lemmas, concat

(

concat

S

)

uncurry

(

concat

S

)

(by lemma 35)

uncurry

(

uncurry

S

)

uncurry

(

uncurry

S

)

uncurry

(

concat

S

)

concat

(

concat

S

)

.

Corollary 38.

Ordinated product is an infinitely associative function.

Bibliography



K. Ciesielski.

Set Theory for the Working Mathematician

. Cambridge, England: Cambridge University Press,

1997.



J. E. Rubin.

Set Theory for the Mathematician

. New York: Holden-Day, 1967.



P. Suppes.

Axiomatic Set Theory

. New York: Dover, 1972.

Bibliography

7