background image

A New Kind of Product of Ordinal Number of Rela-

tions having Ordinal Numbers of Arguments

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

Abstract

Infinite associativity is defined for functions taking an ordinal numbers of arguments. As an
important example of an infinite associative function I define

ordinated product

and research

it’s properties. Ordinated product is an infinitely associative function.

Keywords:

infinite associativity, abstract algebra, set theory, ordinal numbers, product,

relations

A.M.S. subject classification:

05C25, 03E10

1 Introduction

We will consider some function

f

which takes an arbitrary ordinal number of arguments. That is

f

can be taken for arbitary (small, if to be precise) ordinal number of arguments. More formally:

Let

x

=

x

i

n

is a family indexed by an ordinal

n

. Then

f

(

x

)

can be taken. The same function

f

can take different number of arguments. (See below for the exact definition.)

Some of such functions

f

are associative in the sense defined below. If a function is associative

in the below defined sense, then the binary operation induced by this function is associative in the
usual meaning of the word “associativity” as defined in basic algebra.

I also introduce and research an important example of infinitely associative function, which I

call

ordinated product

.

Note that my searching about infinite associativity and ordinals in Internet has provided no

useful results. As such there is a reason to assume that my research of generalized associativity in
terms of ordinals is novel.

2 Used notation

We identify natural numbers with finite Von Neumann’s ordinals (further just

ordinals

or

ordinal

numbers

).

For simplicity we will deal with small sets (members of a Grothendieck universe). We will denote

the Grothendieck universe (aka

universal set

) as

.

(

λx

D

:

f

(

x

)) =

def

{

(

x

;

f

(

x

))

|

x

D

}

for every set

D

and a form

f

taking

x

as argument.

I will denote a tuple of

n

elements like

J

a

0

;

 

;

a

n

1

K

. By definition

J

a

0

;

 

;

a

n

1

K

=

{

(0;

a

0

)

,

 

,

(

n

1;

a

n

1

)

}

.

Note that an ordered pair

(

a

;

b

)

is not the same as the tuple

J

a

;

b

K

of two elements.

Definition 1.

An

anchored relation

is a tuple

J

n

;

r

K

where

n

is an index set and

r

is an

n

-ary

relation.

For an anchored relation arity

J

n

;

r

K

=

n

. The

graph

1

of

J

n

;

r

K

is defined as follows: GR

J

n

;

r

K

=

r

.

Definition 2.

Pr

i

is a small function defined by the formula

Pr

i

f

=

{

x

i

|

x

f

}

1. It is unrelated with graph theory.

1