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Conjecture 49.

"

FCD

A

h Q

(

C

)

f

i

"

FCD

B

, "

RLD

A

h Q

(

A

)

f

i

"

RLD

B

for every indexed family

f

of

funcoids and

a

2

P

Q

i

2

dom

f

Src

f

i

,

a

2

P

Q

i

2

dom

f

Dst

f

i

.

Conjecture 50.

DQ

(

A

)

f

E

"

RLD

X

= (

RLD

)

in

DQ

(

C

)

f

E

"

FCD

X

for every indexed family

f

of

funcoids and a suitable set

X

.

Compactness and Heine-Cantor theorem

Theorem 51.

Let

f

be a

T

1

-separable compact reexive symmetric funcoid and

g

be a reloid such

that

1.

(

FCD

)

g

=

f

;

2.

g

g

¡

1

v

g

.

Then

g

=

h

f

f

i

.

About the above conjecture see also

http://www.openproblemgarden.org/op/direct_proof_of_a_theorem_about_compact_funcoids

8F 2

F

: (

F \

im

f

=

/

; ) 9

:

f

g

[

f

]

F

)

or equivalently

8F 2

F

: (

h

f

¡

1

iF

=

/

; ) 9

:

f

g  h

f

¡

1

iF

)

is a possible denition of

compact

funcoid. (A special case of this denition was hinted by

Victor

Petrov

.) How this is related with open covers and nite covers from the traditional denition of

compactness? Does compactness imply completeness?

Generalize Heine-Cantor theorem for funcoids and reloids.

Category theory related

Conjecture 52.

The categories Fcd and Rld are cartesian closed (actually two conjectures).

Bibliography

[1]

Victor Porton. Distributivity of compositon with a principal reloid over join of reloids. At

http://

www.mathematics21.org/binaries/decomposition.pdf

.

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