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Problem 15.

Let

A

and

B

be innite sets. Characterize the set of all coatoms of the lattice

FCD

(

A

;

B

)

of funcoids from

A

to

B

. Particularly, is this set empty? Is

FCD

(

A

;

B

)

a coatomic

lattice? coatomistic lattice?

Hyperfuncoids

Let

A

be an indexed family of sets.

Products

are

Q

A

for

A

2

Q

A

.

Hyperfuncoids

are lters

F

¡

on the lattice

¡

of all nite unions of products.

Problem 16.

Is

d

FCD

a bijection from hyperfuncoids

F

¡

to:

1. prestaroids on

A

;

2. staroids on

A

;

3. completary staroids on

A

?

If yes, is up

¡

dening the inverse bijection?

If not, characterize the image of the function

d

FCD

dened on

F

¡

.

Provability without axiom of choice

Conjecture 17.

Distributivity of the lattice

FCD

(

A

;

B

)

of funcoids (for arbitrary sets

A

and

B

)

is not provable in ZF (without axiom of choice).

Conjecture 18.

a

n

b

=

a

#

b

for arbitrary lters

a

,

b

on powersets is not provable in ZF (without

axiom of choice).

Complete funcoids and reloids

Question 19.

Is Compl

FCD

(

A

;

B

)

a co-brouwerian lattice?

Conjecture 20.

Composition of complete reloids is complete.

Conjecture 21.

Compl

f

u

Compl

g

=

Compl

(

f

u

g

)

for every reloids

f ; g

2

RLD

(

A

;

B

)

(for every

sets

A

,

B

).

Conjecture 22.

Compl

f

=

f

n

((

Src

f

)

FCD

1

F

(

Dst

f

)

)

for every funcoid

f

.

Conjecture 23.

Compl

f

=

f

n

((

Src

f

)

RLD

1

F

(

Dst

f

)

)

for every reloid

f

.

Question 24.

Is Compl

RLD

(

A

;

B

)

a distributive lattice? Is Compl

RLD

(

A

;

B

)

a co-brouwerian

lattice? (for every sets

A

and

B

).

Conjecture 25.

Let

A

,

B

,

C

be sets. If

f

2

RLD

(

B

;

C

)

is a complete reloid and

R

2

P

RLD

(

A

;

B

)

then

f

F

R

=

F

h

f

 i

R

.

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