background image

4 Exponentials in category Rld

If now

G

,

H

are endoreloids, then MOR

(

G

;

H

)

is an endoreloid.

Denition 17.

MOR

(

G

;

H

) =

t

2

atoms

RLD

((

Ob

H

)

Ob

G

;(

Ob

H

)

Ob

G

)

j

(

im

t

)

G

(

dom

t

)

¡

1

v

H

 

.

Proposition 18.

MOR

(

G

;

H

) =

t

0

RLD

t

1

j

t

0

; t

1

2

atoms

F

((

Ob

H

)

Ob

G

)

; t

1

G

t

0

¡

1

v

H

 

.

Proof.

If

t

0

; t

1

2

F

((

Ob

H

)

Ob

G

)

and

t

1

G

t

0

¡

1

v

H

then there are

t

2

atoms

(

t

0

RLD

t

1

)

. Thus

(

im

t

)

G

(

dom

t

)

¡

1

v

H

and

t

2

atoms

RLD

((

Ob

H

)

Ob

G

;(

Ob

H

)

Ob

G

)

.

If

t

2

atoms

RLD

((

Ob

H

)

Ob

G

;(

Ob

H

)

Ob

G

)

and

(

im

t

)

G

(

dom

t

)

¡

1

v

H

then dom

t

=

t

0

and im

t

=

t

1

for some

t

0

; t

1

2

atoms

F

((

Ob

H

)

Ob

G

)

and thus

t

1

G

t

0

¡

1

v

H

.

Denition 19.

MOR

(

G

;

H

) =

F

f

t

2

RLD

((

Ob

H

)

Ob

G

; (

Ob

H

)

Ob

G

)

j

(

im

t

)

G

(

dom

t

)

¡

1

v

H

g

.

Conjecture 20.

MOR

(

G

;

H

) =

MOR

(

G

;

H

)

.

Obvious 21.

1.

MOR

(

G

;

H

) =

t

2

atoms

RLD

((

Ob

H

)

Ob

G

;(

Ob

H

)

Ob

G

)

j

(

dom

t

)

(

C

)

(

im

t

)

G

v

H

 

;

2.

MOR

(

G

;

H

) =

t

2

RLD

((

Ob

H

)

Ob

G

; (

Ob

H

)

Ob

G

)

j

(

dom

t

)

(

C

)

(

im

t

)

G

v

H

 

.

Conjecture 22.

1.

t

2

atoms MOR

a

(

G

;

H

)

,

(

im

t

)

G

(

dom

t

)

¡

1

v

H

;

2.

t

2

atoms MOR

(

G

;

H

)

,

(

im

t

)

G

(

dom

t

)

¡

1

v

H

.

Evaluation

"

: (

MOR

(

G

;

H

)

G

)

!

H

that is for

x

2

G

=

RLD

(

Ob

G

;

Ob

G

)

it is a function on objects dened by the formula:

[TODO: Infer

x

and

y

from

x

y

.]

"

((

f

RLD

g

)

x

) =

g

(

x

RLD

x

)

f

¡

1

=

f

(

C

)

g

(

x

RLD

x

)

for atomic

f ; g

2

F

((

Ob

H

)

Ob

G

)

.

"

(

F

x

) =

F

f

g

(

x

RLD

x

)

f

¡

1

j

f ; g

2

F

((

Ob

H

)

Ob

G

)

; f

RLD

g

/

F

g

Let now

f

:

Z

A

!

B

.

In Set

f

~(

a

)(

b

) =

f

(

a

;

b

)

;

f

~(

a

) =

b

7!

f

(

a

;

b

)

(

f

)

a

=

F

f

b

 h

(

FCD

)

f

i

(

a

b

)

j

b

2

atoms

F

g

[FIXME: Loss of information, see below.]

Awoday 6.5 Equational denition gives a simple way to check cartesian closed categories.
It's enough to prove:

1.

"

(

f

1

A

) =

f

2.

"

 

(

g

1

A

) =

g

Really,

"

(

f

1

A

)

z

=

"

(

f z

z

) =

"

(

F

f

b

 h

(

FCD

)

f

i

(

z

b

)

j

b

2

atoms

F

z

) =

F

f

g

0

(

z

RLD

z

)

f

1

j

f

0

; g

0

2

F

((

Ob

H

)

Ob

G

)

; f

0

RLD

g

0

/

F

f

b

 h

(

FCD

)

f

i

(

z

b

)

j

b

2

atoms

F

gg

[FIXME: It cannot be equal to

f

due loss on information in

(

FCD

)

.]

5 On decomposisiton of binary relations and reloids

Example 23.

d

G

=

/

d

h

i

G

for some st

G

of reloids (with matching sources and destinations).

Proof.

Take

 =

d

f"

R

(

¡

"

;

"

)

j

" >

0

g

. Take

f

RLD

p

where

p

v

is a nontrivial ultralter.

h

d

G

i

(

f

RLD

p

) = (

d

G

)

(

f

RLD

p

)

h

d

h

i

G

i

(

f

RLD

p

) =

(because

f

RLD

p

is atomic)

=

d

fh

g

i

(

f

RLD

p

)

j

g

2

G

g

=

d

f

g

(

f

RLD

p

)

j

g

2

G

g

.

On decomposisiton of binary relations and reloids

7