Proof.

Let

H

2

up

(

g

f

)

. Then

9

F

2

up

f

:

H

w

g

F

that is

H

2

up

(

g

F

)

. Thus

9

G

2

up

g

such

that

H

w

G

F

.

3 Join of transitive reloids

(

f

t

g

)

(

f

t

g

)

w

(

f

f

)

t

(

g

g

)

[need other direction]

Join of compositions of all nite sequences of

f

and

g

(in any order). It is equivalent to taking

all alternating

S

(

f

g

f

:::

f

)

starting or ending with

f

or

g

.

Relationships between completeness properties in https://en.wikipedia.org/wiki/Complete-

ness_%28order_theory%29

or alternatively:

= (

f

t

g

)

t

((

f

t

g

)

(

f

t

g

))

t

((

f

t

g

)

(

f

t

g

)

(

f

t

g

))

t

:::

w

No similarly useful description of a subbase for the inmum of a family of quasi-uniformities

is known. by http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864107000181

up

F

n

2

N

;f

n; i

2

S

(

f

n;n

:::

f

n;

0

)

=

T

n

2

N

;f

n; i

2

S ;F

n; i

2

up

f

n; i

(

F

n;n

:::

F

n;

0

)

Lemma 14.

=

F

n

2

N

;f

n; i

2

S

(

f

n;n

:::

f

n;

0

)

is a transitive reloid, for every set

S

of endoreloids

(on the same set).

Proof.

Denote

[

U

n

:

n

2

N

] =

F

n

2

N

(

U

n

:::

U

0

)

.

Let

U

n;X

2

up

X

for all

n

2

N

and

X

2

S

.

S

X

2

S

U

n;X

:

n

2

N

is ??

We need to prove

v

.

F

X

2

S

U

n;X

:

n

2

N

2

up

.

Let

U

n;X

2

X

and

U

n

=

S

X

2

S

U

n;X

.

Then

F

X

2

S

U

2

n;X

:

n

2

N

F

X

2

S

U

2

n

¡

1

;X

:

n

2

N

F

X

2

S

U

n;X

:

n

2

N

because??

U

2

n;X

U

2

n

¡

1

;X

2

F

X

2

S

U

n;X

:

n

2

N

??

[TODO: No need for reindexation.]

??

U

n

is the join of all compositions of

n

-tuples. They form a generalized lter base. Thus it's

enough to show that every

U

n

can be decomposed into smaller

n

-tuples. But that's obvious. (It

isn't because it is an innite join!)

Thus is above

U

n

0

U

n

00

.

Thus

is also decomposed, because every its element is minorated as shown above.

??
Take

P

2

up

. Then

P

2

up

A

for every

A

2

up

(

f

n;n

:::

f

n;

0

)

.

P

w

F

N ;N

:::

F

N ;

0

for some

F

N ;i

2

up

f

N ;i

for all

N

2

N

.

Thus

P

w

F

n

2

N

;f

i

2

S

(

F

N ;N

:::

F

N ;

0

)

where

F

N ;i

2

up

f

N ;i

.

Take

F

N

0

=

F

N ;

b

N

/2

c

:::

F

N ;

0

and

F

N

00

=

F

N ;N

:::

F

N ;

b

N

/2

c

+1

This way we exhaust all possible values?

(

F

n;n

:::

F

n;n

)

(

F

m;m

:::

F

m;

0

)

v

P

. But this is obvious.

Thus easily follows

P

w

¡F

n

2

N

;f

i

2

S

(

F

n;n

:::

F

n;

0

)

¡F

n

2

N

;f

i

2

S

(

F

n;n

:::

F

n;

0

)

;

P

2

up

(

)

.

Alternative formula:

S

h

GR

i

S

t

Z

(

S

h

GR

i

S

)

t

Z

(

Z

(

S

h

GR

i

S

))

t

:::

[TODO: Both for reloids and for Cauchy spaces

¡

i

as in the attached article in email.]

[TODO: Also for funcoids (using

(

FCD

)

).]

3.1 Exponentials in category of graphs

http://arxiv.org/pdf/math/0605275.pdf denition 2.3 denes exponential graph

Join of transitive reloids

5