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Represent

H

as a meet of elements of

¡

(

H

=

d

up

¡

H

). For each

H

0

2

up

¡

H

choose

F

H

0

2

up

¡

f

,

G

H

0

2

up

¡

g

such that

H

0

w

G

H

0

F

H

0

. Moreover we can choose maximal

F

H

0

,

G

H

0

such that this

inequatily holds. Then take

F

=

d

H

0

2

up

¡

H

F

H

0

and

G

=

d

H

0

2

up

¡

H

G

H

0

.

[FIXME: Does

F

2

up

f

?]

[TODO: If this does not work, then seems that there is a counter-example, because it is the
stongest.]

[TODO: We MUST take maximal rather than arbitrary

F

H

0

,

G

H

0

. Otherwise take

f

= 1

,

g

=

id

.

Then if we take

F

H

0

= 1

and replace all possible

G

H

0

!

G

H

0

n f

(

a

;

b

)

g

, then

G

=

? 2

/

up

g

]

??

H

2

up

(

g

f

)

) h

H

i

X

w h

g

f

i

X

=

h

g

ih

f

i

X

.

For every

X

take

Y

X

2

up

h

f

i

X

such that

h

g

i

Y

X

v h

H

i

X

. If

g

is complete, we may assume

that

Y

X

is a maximal set for which

h

g

i

Y

X

v h

H

i

X

holds.

Take

F

=

d

f

(

X

Y

X

)

t

(

X

 >

)

j

X

2

T

Src

f

g

. But is

F

complete or co-complete, or if meet

is taken on Rel, do we have

F

2

up

f

?

??
Let

g

be principal. Let

a

be an atomic lter. Take (??not always possible)

Y

a

2

up

h

f

i

a

such

that

h

g

i

Y

a

v h

H

i

a

Let

F

=

F

a

2

atoms

(

a

Y

a

)

- also co-complete

??
Let for each

b

2

atoms

h

f

i

a

dene

Z

b

= ??

??
Let

f

be complete. Replace it with principal funcoid

F

, such that

h

f

i

f

x

g v h

F

i

x

v

Y

f

x

g

.

Prove

g

F

v

H

??
Split

F

into a join of monovalued functions. This does not work because every function produces

its own

g

.

??

G

f

v

H

;

G

Compl

f

=

Compl

(

G

f

)

v

H

??

h

G

f

i

X

=

h

G

ih

f

i

X

=

h

G

i

d

hh

f

i

i

up

X v

d

hh

G

f

i

i

up

X v

??

v h

g

f

i

X v h

H

iX

??
Find maximal

[FIXME: there is no maximal because composition is not distributive over arbi-

trary joins.]

funcoids

F

and

G

such that

G

F

v

H

, then prove they are principal (or (co-)complete)

??
Replace

G

with

G

M

mapping

x

7!h

G

i

f

x

g

, Then ?? consider it as an isomorphism between sets.

(

Q

P

)

M

x

=

h

Q

P

i

f

x

g

=

h

Q

ih

P

i

f

x

g

=

h

Q

i

P

M

x

g

F

v

H

, h

g

F

M

v

H

M

??

f

= (

FCD

)(

RLD

)

in

f

,

g

= (

FCD

)(

RLD

)

in

g

;

H

2

up

(

g

f

)

??
Use Todd Trimble's idea with

:

H

2

up

(

g

f

)

,

(

A

H

~

C ( A

(

g

f

)

~

C

)

,

(

A

H

~

C ( 9B

:

(

A

f

~

B ^ B

g

~

C

))

,

(

AH

~

C

( 9

B

: (

B

w h

f

i

A

^

C

w h

g

i

B

))

[FIXME: check direction of implication]

f

(

A

;

C

)

j

C

w h

H

i

A

g  f

(

A

;

C

)

j 9

B

: (

B

w h

f

i

A

^

C

w h

g

i

B

)

g

.

Suppose

A

2

dom

f

(

A

;

C

)

j 9

B

: (

B

w h

f

i

A

^

C

w h

g

i

B

)

g

or

C

2

im

f

(

A

;

C

)

j 9

B

: (

B

w h

f

i

A

^

C

w h

g

i

B

)

g

.

Then

9

B

: (

B

w h

f

i

A

^

C

w h

g

i

B

)

. Take

B

A;C

such that

B

A;C

w h

f

i

A

^

C

w h

g

i

B

A;C

Take

B

A

0

=

T

C

2

??

B

A;C

.

Then

B

A

0

w h

f

i

A

^

C

w h

g

i

B

A

0

.

[FIXME: it does not hold, only

B

A

0

w

Cor

h

f

i

A

]

Take co-complete funcoid

h

F

i

A

=

B

A

0

. It is possible?? because

B

X

t

Y

0

=

T

C

2

??

B

X

t

Y ;C

= ??

B

A;X

t

Y

w h

f

i

(

X

t

Y

)

^

C

w h

g

i

B

X

t

Y ;C

??
Instead of intersecting funcoids, consider join

f

=

F

X

2

??

X

Y

X

or

f

=

F

X 2

??

Y

X

. It is

enough to consider ultralters

X

.

Theorem 13.

8

H

2

up

(

g

f

)

9

F

2

up

f ; G

2

up

g

:

H

w

G

F

for every composable funcoids

f

and

g

.

[TODO: Also state it for reloids.]

4

Section 2