background image

Because every

y > x

, we have

(

y

)

v

]

x

; +

1

]

and thus

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

v

]

x

; +

1

]

.

It is clear that

F

y

2

A

(

y

)

w

+

(

x

)

and

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

v

+

(

x

)

. Thus

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

+

(

x

)

.

2.

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

=

d

A

2

up

a

h

[

¡1

; +

1

]

i

A

=

d

A

2

up

a;A

v

[

¡1

;

x

[

h

[

¡1

; +

1

]

i

A

=

d

A

2

up

a;A

v

[

¡1

;

x

[

F

y

2

A

(

y

)

Because every

y < x

we have

(

y

)

v

[

¡1

;

x

[

and thus

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

v

[

¡1

;

x

[

.

It is clear that

F

y

2

A

(

y

)

w

¡

(

x

)

and

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

v

¡

(

x

)

. Thus

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

¡

(

x

)

.

[TODO: More detailed proof.]

Corollary 8.

For every ultralter

a

and its limit point

x

:

h

[

¡1

; +

1

]

u i

a

+

(

x

)

if

x

a

h

[

¡1

; +

1

]

u i

a

=

?

if

x < a

Proof.

Take into account

h

[

¡1

; +

1

]

u i

a

=

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

u hi

a

.

Lemma 9.

. Then for every ultralter

a

and its limit point

x

:

0. ??
1.

D

[

¡1

; +

1

]

E

a

+

(

x

)

if

x

a

2.

D

[

¡1

; +

1

]

E

a

¡

(

x

)

if

x < a

Proof.

h

R

i

a

=

d

A

2

up

a

h

R

i

A

=

d

A

2

up

a

F

y

2

A

+

(

y

)

1. ??
2.

h

R

i

a

=

d

A

2

up

a;A

v

[

¡1

;

x

[

F

y

2

A

+

(

y

) = ??

F

y

2

A

+

(

y

)

w

¡

(

x

)

;

F

y

2

A;A

v

[

¡1

;

x

[

+

(

y

)

w

¡

(

x

)

h

R

i

a

v

¡

(

x

)

is obvious.

Theorem 10.

[

¡1

; +

1

]

u

FCD

>

=

/ [

¡1

; +

1

]

.

Proof.

h

[

¡1

; +

1

]

u i

a

=

?

if

x < a

but

D

[

¡1

; +

1

]

E

a

¡

(

x

)

if

x < a

.

Proposition 11.

f~

=

Compl

(

f

u

>

)

.

Proof.

??

2 Entourages of product of funcoids

Lemma 12.

8

H

2

up

(

g

f

)

9

F

2

up

f

:

H

w

g

F

Proof.

H

w

g

F

,

H

f

¡

1

w

g

(proposition 1813). But

f

¡

1

w

f

¡

1

, thus

H

w

g

F

(

H

f

¡

1

w

g

. Take

G

=

H

f

¡

1

, but

H

f

¡

1

2

/

up

g

because

g

f

f

¡

1

w

g

does not hold by

http://math.stackexchange.com/a/1862976/4876

??

[FIXME: This was proof of another lemma.]

Instead of funcoids we will assume that

f

and

g

are lters on

¡

(they are isomorphic).

g

f

=

d

F

¡

up

¡

(

g

f

) =

d

F

¡

((

up

¡

g

)

(

up

¡

f

)) =

d

F

2

up

¡

f ;G

2

up

¡

g

F

¡

(

G

F

)

(lemma 1274).

g

f

=

d

F

2

up

f ;G

2

up

g

F

¡

(

G

F

)

(follows from above or directly from theorm 781)

f

G

F

j

F

2

up

f ; G

2

up

g

g

is?? a generalized lter base on

¡

.

Thus by properties of generalized lter bases (on

¡

) for every

H

2

up

¡

(

g

f

)

there exists

F

2

up

¡

f

,

G

2

up

¡

g

such that

G

F

v

H

.

??
Attempt to construct it: [Example:

f

= 1

, choose

F

H

0

= 1

and

G

H

0

=

H

0

. Then

d

H

0

2

up

¡

H

G

H

0

=

d

H

0

2

up

¡

H

H

0

=

Cor

H

2

up

f

.]

Entourages of product of funcoids

3