background image

f

1

=

F

fX 

FCD

Y j X 

FCD

Y v

f

0

g

what is equal to

f

0

because the lattice of funcoids is

atomistic and every atom is a funcoidal product.

Let now

R

0

be a set of pairs of lters conformung to our axioms,

f

be a funcoid induced by

R

by formula (

2

),

R

1

be a set of pairs of lters induced by

f

by formula (

1

). We will prove

R

1

=

R

0

.

(

X

;

Y

)

2

R

1

, X 

FCD

Y v

F

fX 

FCD

Y j

(

X

;

Y

)

2

R

0

g (

(

X

;

Y

)

2

R

0

FCD

Y v

F

fX 

FCD

Y j

(

X

;

Y

)

2

R

0

g )

(

X

;

Y

)

2

R

0

because ??.

[FIXME: It seems we need

additional axioms!]

Theorem 4.

If a funcoid is weakly metamonovalued, then it is monovalued.

Proof.

We have

(

g

u

h

)

f

= (

g

f

)

u

(

h

f

)

for every reloids

g

,

h

. We need to prove that

f

is

monovalued.

Prove that exists

F

2

up

f

such that for every

g

,

h

we have

(

g

u

h

)

F

= (

g

F

)

u

(

h

F

)

.

it's enough to prove that

(

g

u

h

)

F

w

(

g

F

)

u

(

h

F

)

Really, ??
thus

F

is monovalued.

f

f

¡

1

=

d

f

F

F

¡

1

j

F

2

up

f

g

Proposition 5.

The following statements are equivalent for every endofuncoid

and a set

U

:

1.

U

is connected regarding

.

2. For every

a; b

2

U

there exists a totally ordered set

P

U

such that

min

P

=

a

,

max

P

=

b

,

and for every partion

f

X ; Y

g

of

P

into two sets

X

,

Y

such that

8

x

2

X ; y

2

Y

:

x < y

, we

have

X

[

]

Y

.

Proof.

(

.

Let

A; B

2

P

U

are nonempty. We need to prove

A

[

]

B

. We can assume without loss of

generality that

A

\

B

=

;

. Because

A

and

B

are nonempty, we can take

a

2

A

and

b

2

B

. ??

)

.

The case

a

=

b

is trivial. Assume

a

=

/

b

. Take

A; B

2

P

U

such that

a

2

A

,

b

2

B

and

A

[

B

=

U

and

A

\

B

=

;

. Then take orders

P

A

on

A

with min

P

A

=

a

and

P

B

on

B

with max

P

B

=

b

.

Then the poset

P

=

P

A

+

P

B

??

1 Directed funcoids

Let

[

¡1

; +

1

]

be the extended real line with the complete funcoid induced by the usual topology

on this set.

Proposition 6.

Every ultralter on

[

¡1

; +

1

]

converges to exactly one point.

Proof.

It is a well known fact.

Below is wrong: http://math.stackexchange.com/q/1874451/4876

[FIXME: below is wrong]

Use http://math.stackexchange.com/a/1874862/4876

[TODO:

+

!

>

or

]

[TODO: Compare without explicit formulas.]

Lemma 7.

For every ultralter

a

and its limit point

x

:

0.

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

= (

x

)

if

x

=

a

1.

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

+

(

x

)

if

x > a

2.

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

¡

(

x

)

if

x < a

Proof.

0. Obvious.

1.

h

[

¡1

; +

1

]

i

a

=

d

A

2

up

a

h

[

¡1

; +

1

]

i

A

=

d

A

2

up

a;A

v

]

x

;+

1

]

h

[

¡1

; +

1

]

i

A

=

d

A

2

up

a;A

v

]

x

;+

1

]

F

y

2

A

(

y

)

2

Section 1