 T

Z

(

D

A

)

f

X

\

F

A j

X

2

T

g

=

T

Z

(

D

A

)

f

(

X

[

B

)

\

F

A j

X

2

T

B

\

F

A

.

Suppose that

A \

F

T

T

+

B

\

F

A

. Then exists

K

2

up

(

A \

F

T

T

)

such that

K

2

/

up

(

B

\

F

A

)

.

That is

9

L

2

up

A

:

K

=

L

\

T

T

and

@

L

2

up

A

:

K

=

L

\

B

.

For every

X

2

T

we have up

(

B

\

F

A

)

up

(

X

\

F

A

)

that is

8

Y

2

up

(

X

\

F

A

):

Y

2

up

(

B

\

F

A

)

;

8

P

2

up

A

:

P

\

X

2

up

(

B

\

F

A

)

;

8

P

2

up

A9

Q

2

up

A

:

P

\

X

=

B

\

Q

.

Thus

9

Q

2

up

A

:

L

\

X

=

B

\

Q

(

B

\

F

X

)

\

F

A

= (

B

\

F

A

)

\

F

X

=

B

\

F

A

.

8

X

2

T

: (

B

\

F

X

)

\

F

X

\

F

A

??

(

B

\

F

A

)

\

F

X

= (

B

\

F

A

)

\

F

(

X

\

F

A

) =

B

\

F

A

??

Theorem 47.

S

Z

(

D

A

)

f

X

\

F

A j

X

2

T

g

=

A \

F

S

T

.

Proof.

??

Lemma 48.

If staroid

0 =

/

f

v

a

Strd

n

for an ultralter

a

and an index set

n

, then

n

f

a

g 2

GR

f

.

[TODO: Can be generalized for arbitrary staroidal products?]

Proof.

If

K

i

w

a

i

for some

i

2

n

then

K

2

/

GR

a

Strd

n

and thus

K

2

/

GR

f

.

Suppose that for every

K

such that

K

i

w

a

i

for every

i

2

n

we have

K

2

/

GR

f

. Then GR

f

=

;

what is impossible.

Thus there exists

K

such that

K

i

w

a

i

for every

i

2

n

and

K

2

GR

f

.

By the previous lemma,

i

2

n

:

K

i

u

a

2

GR

f

that is

n

f

a

g 2

GR

f

.

Theorem 49.

id

a

[

n

]

Strd

is an atomic ?? if

a

is an atomic lter.

Proof.

Suppose

0 =

/

f

v

id

a

[

n

]

Strd

. Then

f

v

a

Strd

n

and thus by the lemma

n

f

a

g 2

GR

f

.

We need to prove that

f

w

id

a

[

n

]

Strd

that is

L

2

GR

f

(

L

2

id

a

[

n

]

Strd

that is

L

2

GR

f

(

d

i

2

n

Z

L

i

2

@ a

.

Really,

d

i

2

n

Z

L

i

2

@ a

) 8

i

2

n

:

L

i

2

@ a

) 8

i

2

n

:

L

i

w

a

)

L

2

GR

f

.

7 Misc

Lemma 50.

x

FCD

y

F

^

x

FCD

y

G

)

x

FCD

y

F

\

G

for any atomic lters

x

and

y

and

binary relations

F

and

G

.

Proof.

x

FCD

y

F

, h

F

i

x

y

, 8

X

2

up

x

:

h

F

i

X

y

, 8

X

2

up

x

:

X

/

h

F

¡

1

i

y

.

Consider an innite lineraly ordered set.
Let

a

is a nontrivial atomic lter. Choose atomic reloid

f

in

(

a

a

)

\

(

>

)

.

f

f

¡

1

((

a

a

)

\

(

>

))

((

a

a

)

\

(

<

))

a

a

y > x; z < y

??

f

f

¡

1

1

Dst

f

A space is compact if and only if every collection of closed sets satisfying the nite intersection

property has nonempty intersection itself. (See

here

).

Theorem 51.

If

S

2

P

F

2

then

\

F

fA  B j

(

A

;

B

)

2

S

g

=

\

F

dom

S

\

F

im

S:

14

Section 7