background image

im

(

RLD

)

in

f

=

im

f

is similar.

Theorem 41.

A reloid

f

is monovalued i

8

g

2

RLD

: (

g

f

)

g

=

f

j

dom

g

RLD

)

.

Proof.

)

.

Let

f

is monovalued. Then exists

F

2

up

f

such that

f

=

F

j

dom

f

RLD

. Let

g

2

RLD

and

g

f

. Then exists

G

2

up

g

such that

g

=

G

j

dom

g

RLD

. We have

g

=

g

\

RLD

f

=

G

j

dom

g

RLD

\

RLD

F

j

dom

f

RLD

=

G

j

dom

g

RLD

\

RLD

F

j

dom

g

RLD

=(

G

\

RLD

F

)

j

dom

g

RLD

f

j

dom

g

RLD

. But obviously

g

f

j

dom

g

RLD

. So

g

=

f

j

dom

g

RLD

.

Conjecture 42.

Compl

f

=

f

n

FCD

(

FCD

f

)

for every funcoid

f

.

This conjecture may be proved by considerations similar to these in the section Fréchet lter

in [

?

].

Example 43.

(

RLD

)

in

is not a lower adjoint (in general).

Proof.

Enough to prove one of the following:

Enough to prove non-existence of max

f

f

2

FCD

j

(

RLD

)

in

f

g

g

for some reloid

g

.

??Enough to prove

(

RLD

)

in

S

FCD

S

=

/

S

FCD

h

(

RLD

)

in

i

S

for some set

S

of funcoids.

??

Theorem 44.

A lter

A

is connected regarding a reloid

f

i it is connected regarding the funcoid

(

FCD

)

f

.

Proof.

A

is connected regarding

f

i

A

is connected regarding every element of

F

2

up

f

(considered as reloids) that is i

S

(

F

\

RLD

(

RLD

A

)) =

RLD

A

.

??

Theorem 45.

(

RLD

)

out

(

FCD

B

) =

/

RLD

B

in general.

Proof.

(

RLD

)

out

(

FCD

B

) =

T

RLD

up

(

FCD

B

)

If the equality holds,

8

F

2

up

(

FCD

B

)

9

A

2

up

A

; B

2

up

B

:

A

B

F

.

Let

L

,

B

are f.o. and the cardinality of the set

H

=

fY 2

F

j B  Y  Lg

is innite but not

greater than cardinality of a set

A

. (We can always assume existence of such set

A

, extending the

base set

f

above if necessary.)

For every f.o.

Y 2

H

choose a set

Y

Y

2

up

B

such that

Y

Y

2

/

up

Y

Let

z

is a surjection from

A

to

H

.

Consider the binary relation

F

=

S

ff

Y

z

j

2

A

g

.

We have

F

A

FCD

B

that is

F

2

up

(

FCD

B

)

.

But if

B

2

up

B

then ??

A

B

*

F

because

F

=

Y

z

2

/

up

z

that is

8Y  B

:

Y

z

2

/

up

Y

[Not needed] Consider funcoid

f

=

S

FCD

ff

FCD

z

j

2

A

g

.

??

Theorem 46.

T

Z

(

D

A

)

f

X

\

F

A j

X

2

T

g

=

A \

F

T

T

.

Proof.

That

A \

F

T

T

is a lower bound of

f

X

\

F

A j

X

2

T

g

is obvious.

We need to prove that it is the greatest lower bound, that is that for every lower bound

B 2

Z

(

D

A

)

of

f

X

\

F

A j

X

2

T

g

we have

A \

F

T

T

 B

.

Let

B

=

B

\

F

A

is a lower bound of

f

X

\

F

A j

X

2

T

g

that is

8

X

2

T

:

B

\

F

X

\

F

A

. Left

to prove that

A \

F

T

T

B

\

F

A

.

(

X

[

B

)

\

F

A

= (

X

\

F

A

)

[

F

(

B

\

F

A

) =

X

\

F

A

B

[

F

(

A \

F

T

T

) = (

B

[

F

A

)

\

F

(

B

[

T

T

)

Rest

13