background image

This le is with partial proofs (with rough gibberish) about open problems I have tried to solve

but have failed. If you solve something of this please notify me by email

porton@narod.ru

.

Conjecture 1.

(

RLD

)

out

(

g

f

)

w

(

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

(

v

or

w

) for composable funcoids

f

and

g

.

Proof.

(

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

=

d

G

2

up

g

RLD

G

d

F

2

up

f

RLD

F

v

G

F

for every

F

2

up

f

and

G

2

up

g

.

Thus

(

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

v

d

F

2

up

f ;G

2

up

g

RLD

(

G

F

)

v

??

[FIXME: Opposite inequalities!]

(

RLD

)

out

(

g

f

) =

d

RLD

up

(

g

f

) = ?? =

d

F

2

up

f ;G

2

up

g

RLD

(

G

F

)

w

d

G

2

up

(

RLD

)

out

g;F

2

up

(

RLD

)

out

f

RLD

(

G

F

) =

d

G

2

up

d

R L D

up

g;F

2

up

d

R L D

up

f

RLD

(

G

F

) =

d

RLD

up

g

d

RLD

up

f

Proposition 2.

A product of nonempty posets is a dcpo if and only i each multiplier is a dcpo.

Proof.

[TODO: More detailed proof]

Suppose one multiplier is not a dcpo. Take a chain with xed

elements (thanks our posets are nonempty) from other multipliers and for this multiplier take the
values which form a chain without the join. This proves that the product is not a dcpo.

Now take that all multipliers are dcpo. Take a chain that is a set for which holds

a

v

b

^

b

v

a

)

a

=

b

.

We have
??
Take an element

t

of the chain.

For each

k

we have

a

i

0

=

a

i

if

i

=

k

t

i

if

i

=

/

k

and

b

i

0

=

b

i

if

i

=

k

t

i

if

i

=

/

k

a

0

?? belongs to the chain?

??We have

a

i

v

b

i

^

b

i

v

a

i

)

a

i

=

b

i

for all

a

,

b

in the chain. Take

Let . Take
??
It is a chain componentwise because the predicate

a

v

b

^

b

v

a

)

a

=

b

holds?? componentwise.

Thus every component has a (calculated componentwise) join.

Conjecture 3.

Funcoids

f

from

A

to

B

bijectively corresponds to the sets

R

of pairs

(

X

;

Y

)

of

lters (on

A

and

B

correspondingly) that

1.

R

is nonempty.

2.

R

is a lower set.

3.

R

is a dcpo (or what is the same product of two dcpos)

4. We can add axiom:

FCD

B v

F

fX 

FCD

Y j

(

X

;

Y

)

2

R

0

g )

(

A

;

B

)

2

R

by the mutually inverse formulas:

(

X

;

Y

)

2

R

, X 

FCD

Y v

f

(1)

f

=

G

fX 

FCD

Y j

(

X

;

Y

)

2

R

g

:

(2)

Proof.

Let

R

be dened by formula (

1

). That

R

is a nonempty lower set is obvious. Let's prove

that

R

is a dcpo.

Let

T

be a chain in

R

and

8

(

A

;

B

)

2

T

:

FCD

B v

f

.

8

(

A

;

B

)

2

T

: (

/

A ) B v h

f

iX

)

taking join we have:

/

A )

F

B

2

Pr

1

T

B

v h

f

iX

FCD

F

B

2

Pr

1

T

B

v

f

Repeating this, we get

F

A

2

Pr

0

T

A

FCD

F

B

2

Pr

1

T

B

v

f

. Thus

R

is a dcpo.

It remains to prove that the formulas are mutually inverse.
Let

f

0

be a funcoid,

R

be induced by

f

0

by formula (

1

),

f

1

be induced by

R

by formula (

2

).

We will prove that

f

1

=

f

0

.

Misc

1