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Categories related with funcoids

by Victor Porton

Web:

http://www.mathematics21.org

July 26, 2012

Abstract

I consider some categories related with pointfree funcoids.

1 Draft status

This is a rough partial draft.

2 Topic of this article

In this article are considered some categories related to

pointfree funcoids

[1].

3 Category of continuous morphisms

I will denote Ob

f

the object (source and destination) of an endomorphism

f

.

Definition 1.

Let

C

is a partially ordered category. The category

cont

(

C

)

(which I call

the

category of continuous morphism

over

C

) is:

Objects are endomorphisms of category

C

.

Morphisms are triples

(

f

;

a

;

b

)

where

a

and

b

are objects and

f

:

Ob

a

Ob

b

is a morphism

of the category

C

such that

f

a

b

f

.

Composition of morphisms is defined by the formula

(

g

;

b

;

c

)

(

f

;

a

;

b

) = (

g

f

;

a

;

c

)

.

Identity morphisms are

(

a

;

a

; 1

a

C

)

.

It is really a category:

Proof.

We need to prove that: composition of morphisms is a morphism, composition is associative,

and identity morphisms can be canceled on the left and on the right.

That composition of morphisms is a morphism follows from these implications:

f

a

b

f

g

b

c

g

g

f

a

g

b

f

c

g

f .

That composition is associative is obvious.

That identity morphisms can be canceled on the left and on the right is obvious.

Remark 2.

The “physical” meaning of this category is:

Objects (endomorphisms of

C

) are spaces.

Morphisms are continuous functions between spaces.

f

a

b

f

intuitively means that

f

combined with an infinitely small is less than infinitely

small combined with

f

(that is

f

is continuous).

Remark 3.

Every Hom

(

A

;

B

)

of

Pos

is partially ordered by the formula

a

6

b

⇔ ∀

x

A

:

a

(

x

)

6

b

(

x

)

.

So

cont

(

Pos

)

is defined.

1