 4. EQUIVALENT MORPHISMS

8

1

. An ordered category with restricted identities is

with ordered image

iff

f

v

g

IM

f

IM

g

.

2

. An ordered category with restricted identities is

with ordered domain

iff

f

v

g

DOM

f

DOM

g

.

3

. An ordered category with restricted identities is

with ordered domain and

image

iff it is both with ordered domain and with ordered image.

Obvious

2074

.

1

. An ordered category with restricted identities is with ordered image iff

f

v

g

Im

f

Im

g

.

2

. An ordered category with restricted identities is with ordered domain iff

f

v

g

Dom

f

Dom

g

.

3

. An ordered category with restricted identities is with ordered domain and

image iff it is both with ordered domain and with ordered image.

Obvious

2075

.

1

. For an ordered category

C

with restricted identities to be with ordered

image it’s enough that id

C

(Dst

f,

Dst

f

)

[

X

]

f

=

f

g

v

f

id

C

(Dst

f,

Dst

f

)

[

X

]

g

=

g

for every parallel morphisms

f

and

g

and

Z

3

X

v

Dst

f

.

2

. For an ordered category

C

with restricted identities to be with ordered

domain it’s enough that

f

id

C

(Src

f,

Src

f

)

[

X

]

=

f

g

v

f

g

id

C

(Src

f,

Src

f

)

[

X

]

=

g

for every parallel morphisms

f

and

g

and

Z

3

X

v

Src

f

.

Conjecture

2076

.

There exists a category with restricted identities which is

not with ordered image.

Obvious

2077

.

For an ordered category with restricted identities with ordered

domain and image we have

ι

Src

f,

Dst

f

ι

A,B

f

=

f

g

v

f

ι

Src

f,

Dst

f

ι

A,B

g

=

g

for

parallel morphisms

f

and

g

.

Definition

2078

.

1

. im

f

= min Im

f

;

2

. dom

f

= min Dom

f

.

Note

2079

.

It seems that im and dom are defined not for every category with

restricted identities.

Proposition

2080

.

1

. im

f

= min IM

f

;

2

. dom

f

= min DOM

f

.

Proof.

It follows from IM

f

=

S

Im

f

(and likewise for dom

f

).

Theorem

2081

.

DOM(

g

f

)

DOM

f

, IM(

g

f

)

IM

g

, Dom(

g

f

)

Dom

f

,

Im(

g

f

)

Im

g

.

Proof.

E

Y,

Dst

f

C

◦ E

Dst

f,Y

C

g

f

=

g

f

⇐ E

Y,

Dst

f

C

◦ E

Dst

f,Y

C

g

=

g

and it

implies IM(

g

f

)

IM

g

. The rest follows easily.

Corollary

2082

.

dom(

g

f

)

v

dom

f

, im(

g

f

)

v

im

g

whenever dom/im

are defined.

4. Equivalent morphisms

Proposition

2083

.

ι

A,B

ι

X,Y

f

=

ι

A,B

f

for every sets

A

,

B

,

X

,

Y

whenever

DOM

f

and IM

f

are filters and

X

DOM

f

,

Y

IM

f

.